Partie 2 sur 9 du cours « Notion de logique » — 1ère Bac Sciences Économiques.
Activité
On considère sur $\mathbb{R}$ les fonctions propositionnelles $P(x) : x^2 \geq 0$ et $Q(x) : x^2 = 4$.
$P(x)$ est-elle vraie pour tous les réels ?
$Q(x)$ est-elle vraie pour tous les réels ? pour au moins un réel ?
Constat : $P(x)$ est vraie pour tout réel $x$ (un carré est toujours positif). $Q(x)$ n'est pas vraie pour tout réel ($Q(0)$ est fausse), mais elle est vraie pour au moins un réel ($Q(2)$ est vraie). Pour écrire ces deux idées, on utilise des quantificateurs.
Définition : les quantificateurs
Soit $P(x)$ une fonction propositionnelle définie sur un ensemble $E$.
La proposition « pour tout $x$ de $E$, $P(x)$ » s'écrit : $$\boxed{\forall x \in E,\; P(x)}$$ Elle est vraie si $P(x)$ est vraie pour chaque élément $x$ de $E$. Le symbole $\forall$ est le quantificateur universel ; il se lit « pour tout » ou « quel que soit ».
La proposition « il existe au moins un $x$ de $E$ tel que $P(x)$ » s'écrit : $$\boxed{\exists x \in E,\; P(x)}$$ Elle est vraie si $P(x)$ est vraie pour au moins un élément de $E$. Le symbole $\exists$ est le quantificateur existentiel.
« il existe un unique $x$ de $E$ tel que $P(x)$ » s'écrit : $$\boxed{\exists!\, x \in E,\; P(x)}$$
Exemples
$\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 + 1 > 0$ est vraie : pour tout réel $x$, $x^2 \geq 0$ donc $x^2 + 1 \geq 1 > 0$.
$\exists n \in \mathbb{N},\; n^2 = 9$ est vraie : $n = 3$ convient.
$\forall n \in \mathbb{N},\; n \geq 1$ est fausse : $n = 0$ est un entier naturel et $0 < 1$.
$\exists x \in \mathbb{Q},\; 3x = 1$ est vraie : $x = \dfrac{1}{3}$ est un rationnel et $3 \times \dfrac{1}{3} = 1$.
Méthode : justifier une valeur de vérité
Pour montrer que $\forall x \in E,\; P(x)$ est vraie : on prend un $x$ quelconque de $E$ et on démontre $P(x)$. Vérifier quelques exemples ne suffit pas.
Pour montrer que $\forall x \in E,\; P(x)$ est fausse : il suffit de trouver un seul $x$ de $E$ pour lequel $P(x)$ est fausse.
Pour montrer que $\exists x \in E,\; P(x)$ est vraie : il suffit d'exhiber un $x$ de $E$ qui vérifie $P(x)$.
Pour montrer $\exists!\, x \in E,\; P(x)$ : on démontre l'existence (un $x$ convient) puis l'unicité (deux solutions sont forcément égales).
Remarque : l’ordre des quantificateurs
On peut permuter deux quantificateurs de même nature : « $\forall x \; \forall y$ » a le même sens que « $\forall y \; \forall x$ ».
En revanche, on ne peut pas permuter $\forall$ et $\exists$ :
$\forall x \in \mathbb{R},\; \exists y \in \mathbb{R},\; y > x$ est vraie : pour chaque $x$, le réel $y = x + 1$ convient ($y$ dépend de $x$).
$\exists y \in \mathbb{R},\; \forall x \in \mathbb{R},\; y > x$ est fausse : elle affirme qu'un même réel $y$ est plus grand que tous les réels, or pour $x = y$ on aurait $y > y$.
Exemple : existence et unicité
Montrons que la proposition suivante est vraie :
$$\exists!\, x \in \mathbb{R},\; 2x - 3 = 0$$
Application
Donner la valeur de vérité de chaque proposition, en justifiant :