Exercices corrigés : Proposition – Fonction propositionnelle

Exercice 1

Niveau : Facile

Pour chaque énoncé, dire s'il s'agit d'une proposition ; si oui, donner sa valeur de vérité en justifiant.

1. « $15$ est un multiple de $4$ »
2. « $x^2 = 4$ », où $x \in \mathbb{R}$
3. « $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = 4$ »
4. « $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{7}$ »

Corrigé

1. « $15$ est un multiple de $4$ »

• Étape 1 : division : Pas de variable : c'est une proposition. On effectue la division euclidienne de $15$ par $4$.
• $$15 = 4 \times 3 + 3 \qquad (\text{reste } 3 \neq 0)$$
• Conclusion $$\boxed{\text{proposition fausse}}$$

2. « $x^2 = 4$ »

• Étape 1 : nature : L'énoncé dépend de $x$ : il est vrai pour $x = 2$ et faux pour $x = 0$.
• Conclusion $$\boxed{\text{fonction propositionnelle}}$$

3. « $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = 4$ »

• Étape 1 : calcul : Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ on a $\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{ab}$.
• $$\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$$
• Conclusion $$\boxed{\text{proposition vraie}}$$

4. « $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{7}$ »

• Étape 1 : même dénominateur : On écrit les deux fractions sur le dénominateur $28$.
• $$\frac{3}{4} = \frac{21}{28} \qquad\text{et}\qquad \frac{5}{7} = \frac{20}{28}$$
• Étape 2 : comparaison : Comme $21 > 20$, on a $\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{7}$.
• Conclusion $$\boxed{\text{proposition fausse}}$$

Exercice 2

Niveau : Moyen

On considère la fonction propositionnelle $P(x) : x^2 = 2x$, définie sur $\mathbb{R}$.

1. Donner la valeur de vérité de $P(0)$, $P(1)$, $P(2)$ et $P(-2)$.
2. Déterminer l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $P(x)$ est vraie.

Corrigé

1. Valeurs de vérité

• Étape 1 : substitution : On remplace $x$ par chaque valeur et on compare $x^2$ et $2x$.
• $$P(0) : 0 = 0 \;(V) \qquad P(1) : 1 \neq 2 \;(F)$$ $$P(2) : 4 = 4 \;(V) \qquad P(-2) : 4 \neq -4 \;(F)$$
• Conclusion $$\boxed{P(0) \text{ et } P(2) \text{ vraies} \;;\; P(1) \text{ et } P(-2) \text{ fausses}}$$

2. Ensemble des solutions

• Étape 1 : factoriser : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on ramène tout dans un membre :
• $$x^2 = 2x \iff x^2 - 2x = 0 \iff x(x - 2) = 0$$
• Étape 2 : produit nul : Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x = 0$ ou $x = 2$.
• Conclusion $$\boxed{S = \{0 \,;\, 2\}}$$

Exercice 3

Niveau : Difficile

1. On considère $P(x, y) : x^2 + y^2 = 2xy$, définie sur $\mathbb{R}^2$.
a. Donner la valeur de vérité de $P(3, 3)$ et de $P(1, -1)$.
b. Déterminer tous les couples $(x, y)$ pour lesquels $P(x, y)$ est vraie.

1. On considère $Q(x) : |2x - 1| = 3$, définie sur $\mathbb{R}$. Déterminer l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $Q(x)$ est vraie.

Corrigé

1.a. $P(3,3)$ et $P(1,-1)$

• Étape 1 : substitution : On calcule les deux membres.
• $$P(3,3) : 9 + 9 = 18 = 2 \times 3 \times 3 \;(V)$$ $$P(1,-1) : 1 + 1 = 2 \neq 2 \times 1 \times (-1) = -2 \;(F)$$
• Conclusion $$\boxed{P(3,3) \text{ vraie}, \; P(1,-1) \text{ fausse}}$$

1.b. Couples solutions

• Étape 1 : identité remarquable : Pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ :
• $$x^2 + y^2 = 2xy \iff x^2 - 2xy + y^2 = 0 \iff (x - y)^2 = 0$$
• Étape 2 : carré nul : Un carré est nul si et seulement si le nombre est nul : $x - y = 0$.
• Conclusion $$\boxed{P(x,y) \text{ est vraie} \iff x = y}$$

2. $|2x - 1| = 3$

• Étape 1 : valeur absolue : Pour $a \geq 0$ : $|X| = a \iff X = a$ ou $X = -a$.
• $$|2x - 1| = 3 \iff 2x - 1 = 3 \;\text{ ou }\; 2x - 1 = -3 \iff x = 2 \;\text{ ou }\; x = -1$$
• Conclusion $$\boxed{S = \{-1 \,;\, 2\}}$$