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Partie 1 sur 7 du cours « Étude de fonction » — 1ère Bac Sciences Économiques.
Dans ce chapitre, on étudie le comportement d'une courbe représentative d'une fonction lorsque l'une de ses coordonnées tend vers l'infini. Ces comportements déterminent les branches infinies de la courbe.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Soit $f$ une fonction numérique et $(C_f)$ sa courbe représentative.
Soit $M(x, f(x))$ un point de $(C_f)$.
On dit que $(C_f)$ admet une branche infinie si $x$ ou $f(x)$ tend vers l'infini ($+\infty$ ou $-\infty$).
La courbe de la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ admet des branches infinies car :
- Quand $x \to 0^+$, on a $f(x) \to +\infty$
- Quand $x \to +\infty$, on a $f(x) \to 0$
Soit $f$ une fonction numérique et $a$ un réel.
Si $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = +\infty$ ou $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$ ou $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty$ ou $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty$
Alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale de $(C_f)$ au voisinage de $a$.
Soit $f$ définie par $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2}$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.
Donc la droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale de $(C_f)$ au voisinage de $0$ à droite.
Soit $f$ une fonction numérique et $b$ un réel.
Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ (resp. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$)
Alors la droite d'équation $y = b$ est une asymptote horizontale de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (resp. $-\infty$).
Soit $f$ définie par $f(x) = \frac{2x^2 + x + 1}{3x^2}$.
Puisque $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{2}{3}$, la droite d'équation $y = \frac{2}{3}$ est une asymptote horizontale de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
Pour déterminer si la courbe est au-dessus ou en-dessous de son asymptote horizontale $y = b$ :
- Si $f(x) \geq b$ au voisinage de $+\infty$, la courbe est au-dessus de l'asymptote
- Si $f(x) \leq b$ au voisinage de $+\infty$, la courbe est en-dessous de l'asymptote
Pour trouver les asymptotes d'une courbe $(C_f)$ :
Asymptotes verticales :
1. Identifier les valeurs $a$ où $f$ n'est pas définie (dénominateur nul, racine d'un nombre négatif...)
2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)$
3. Si une limite vaut $\pm\infty$, alors $x = a$ est une asymptote verticale
Asymptotes horizontales :
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$
2. Si une limite vaut un réel $b$, alors $y = b$ est une asymptote horizontale
Soit $h$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 3 + \frac{x+1}{x^2+3}$.
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} h(x)$, puis interpréter graphiquement les résultats.
Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ par $g(x) = \frac{x+5}{(x+2)^2}$.
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -2} g(x)$, puis interpréter graphiquement.