Asymptote oblique

Introduction

Lorsque la limite de $f(x)$ en $\pm\infty$ n'est pas un réel fini, la courbe peut néanmoins admettre une droite asymptote. Si cette droite n'est ni verticale ni horizontale, on l'appelle asymptote oblique.

Asymptote oblique

Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $+\infty$ ou $-\infty$.
Soient $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$.

Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( f(x) - (ax + b) \right) = 0$ (resp. en $-\infty$)

Alors la droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (resp. $-\infty$).

Exemple

Soit $f$ définie par $f(x) = x + 1 + \frac{1}{x^2}$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( f(x) - (x+1) \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0$.

Donc la droite $y = x + 1$ est une asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.

Méthode pour déterminer une asymptote oblique

Soit $f$ une fonction telle que $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \pm\infty$.

Pour déterminer si $(C_f)$ admet une asymptote oblique $y = ax + b$ :

1. Calculer $a = \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$
2. Si $a$ est un réel non nul, calculer $b = \displaystyle\lim_{x \to \infty} \left( f(x) - ax \right)$
3. Si $b$ est un réel, alors $y = ax + b$ est une asymptote oblique

Application de la méthode

Soit $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

Étape 1 : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x(x+1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+1} = 1$
Donc $a = 1$.

Étape 2 : On vérifie que $f(x) = x - 1 + \frac{1}{x+1}$ (division euclidienne)
Donc $f(x) - x = -1 + \frac{1}{x+1}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = -1$
Donc $b = -1$.

Conclusion : La droite $y = x - 1$ est une asymptote oblique de $(C_f)$ en $+\infty$.

Position relative de la courbe et de l'asymptote oblique

Si $(C_f)$ admet la droite $(\Delta) : y = ax + b$ comme asymptote oblique, la position relative de $(C_f)$ et $(\Delta)$ se déduit par l'étude du signe de $f(x) - (ax + b)$ :

• Si $f(x) - (ax + b) > 0$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(\Delta)$
• Si $f(x) - (ax + b) < 0$ : $(C_f)$ est en-dessous de $(\Delta)$
• Si $f(x) - (ax + b) = 0$ : $(C_f)$ coupe $(\Delta)$

Remarque importante

Une asymptote oblique existe uniquement si :
- La limite de $f(x)$ en $\pm\infty$ est infinie
- La limite de $\frac{f(x)}{x}$ est un réel $a \neq 0$
- La limite de $f(x) - ax$ est un réel $b$

Application

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x - 3 + \frac{3}{x^2}$.

Montrer que la droite $y = 2x - 3$ est une asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$.

Application complète

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 1}$.
1. Déterminer $D_f$.
2. Montrer que la droite $y = x - 2$ est une asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.