Exercices corrigés : Asymptotes verticales et horizontales

Exercice 1

Soit $f$ une fonction numérique définie par le tableau de variations suivant :

1. Déterminer $D_f$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.
2. Déterminer les limites aux bornes de $D_f$ puis interpréter graphiquement.

Corrigé

1. Déterminer $D_f$.

• D'après le tableau la fonction n'est pas définie en $0$ et en $2$ (barres verticales)
• Donc $D_f = ]-\infty, 0[ \cup ]0, 2[ \cup ]2, +\infty[$

2. Déterminer les limites et interpréter graphiquement.

• D'après le tableau on lit les limites suivantes :
• On a $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$
• Donc la droite $y = 1$ est une asymptote horizontale en $-\infty$ et $+\infty$.
• On a aussi $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$
• Donc la droite $x = 0$ est une asymptote verticale.
• Et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$
• Donc la droite $x = 2$ est une asymptote verticale.

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x-1}{x-2}$.
1. Déterminer $D_f$.
2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
3. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)$.
4. Interpréter graphiquement les résultats.

Indication

Pour les limites en $\pm\infty$, diviser numérateur et dénominateur par $x$.

Corrigé

1. Déterminer $D_f$.

• La fonction $f(x) = \frac{x-1}{x-2}$ est définie si $x - 2 \neq 0$, c'est-à-dire $x \neq 2$
• Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

2. Calculer les limites en $\pm\infty$.

• On factorise par $x$ au numérateur et au dénominateur
• $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1-\frac{1}{x})}{x(1-\frac{2}{x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}} = \frac{1}{1} = 1$$
• De même $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$

3. Calculer les limites en $2$.

• Quand $x \to 2^+$, on a $x - 1 \to 1$ et $x - 2 \to 0^+$
• $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty$$
• Quand $x \to 2^-$, on a $x - 1 \to 1$ et $x - 2 \to 0^-$
• Donc $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{1}{0^-} = -\infty$

4. Interpréter graphiquement.

• D'après les limites en $\pm\infty$
• Donc la droite $y = 1$ est une asymptote horizontale de $(C_f)$ en $+\infty$ et $-\infty$.
• D'après les limites en $2$
• Donc la droite $x = 2$ est une asymptote verticale de $(C_f)$.

Exercice 3

Soit $h$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 3 + \frac{x+1}{x^2+3}$.

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} h(x)$, puis interpréter graphiquement les résultats.

Indication

Pour les limites, mettre $x^2$ en facteur au dénominateur.

Corrigé

Calculer les limites et interpréter graphiquement.

• On a $h(x) = 3 + \frac{x+1}{x^2+3}$
• Quand $x \to +\infty$, le numérateur $x+1 \to +\infty$ et le dénominateur $x^2+3 \to +\infty$
• On factorise par $x$ au numérateur et $x^2$ au dénominateur
• $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x^2+3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1+\frac{1}{x})}{x^2(1+\frac{3}{x^2})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$
• Donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = 3 + 0 = 3$
• De même $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} h(x) = 3$
• Donc la droite d'équation $y = 3$ est une asymptote horizontale de $(C_h)$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$.

Exercice 4

Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ par $g(x) = \frac{x+5}{(x+2)^2}$.

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -2} g(x)$, puis interpréter graphiquement.

Corrigé

Calculer la limite et interpréter graphiquement.

• Quand $x \to -2$, le numérateur $x + 5 \to 3$
• Et le dénominateur $(x+2)^2 \to 0^+$ (car un carré est toujours positif)
• $$\lim_{x \to -2} g(x) = \frac{3}{0^+} = +\infty$$
• Donc la droite d'équation $x = -2$ est une asymptote verticale de $(C_g)$.