Exercices corrigés : Rappel : domaine de définition et parité

Exercice 1

Niveau : Facile

Déterminer le domaine de définition de chaque fonction :

1. $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$
2. $g(x) = \dfrac{x + 4}{2x - 6}$
3. $h(x) = \sqrt{2x + 8}$
4. $k(x) = \dfrac{5}{x^2 + x}$

Corrigé

1. $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$

• Étape 1 : reconnaître $f$ est un polynôme : $f(x)$ se calcule pour tout réel $x$.
• Conclusion $$\boxed{D_f = \mathbb{R}}$$

2. $g(x) = \dfrac{x + 4}{2x - 6}$

• Étape 1 : valeur interdite $2x - 6 = 0 \iff x = 3$.
• Conclusion $$\boxed{D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}}$$

3. $h(x) = \sqrt{2x + 8}$

• Étape 1 : condition : Il faut $2x + 8 \geq 0$, soit $2x \geq -8$, donc $x \geq -4$.
• Conclusion $$\boxed{D_h = [-4\,;\,+\infty[}$$

4. $k(x) = \dfrac{5}{x^2 + x}$

• Étape 1 : factoriser le dénominateur $x^2 + x = x(x + 1)$, qui s'annule pour $x = 0$ ou $x = -1$.
• Conclusion $$\boxed{D_k = \mathbb{R} \setminus \{-1\,;\,0\}}$$

Exercice 2

Niveau : Moyen

Étudier la parité de chaque fonction :

1. $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2$
2. $g(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 5}$
3. $h(x) = x|x|$
4. $k(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$

Corrigé

1. $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2$

• Étape 1 : domaine $D_f = \mathbb{R}$, symétrique par rapport à $0$.
• Étape 2 : calculer f(−x) $(-x)^4 = x^4$ et $(-x)^2 = x^2$, donc $f(-x) = x^4 - 3x^2 + 2 = f(x)$.
• Conclusion $$\boxed{f \text{ est paire}}$$

2. $g(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 5}$

• Étape 1 : domaine $x^2 + 5 > 0$, donc $D_g = \mathbb{R}$.
• Étape 2 : calculer g(−x) $g(-x) = \dfrac{-2x}{x^2 + 5} = -g(x)$.
• Conclusion $$\boxed{g \text{ est impaire}}$$

3. $h(x) = x|x|$

• Étape 1 : domaine $D_h = \mathbb{R}$.
• Étape 2 : calculer h(−x) $h(-x) = (-x)\,|-x| = -x|x| = -h(x)$.
• Conclusion $$\boxed{h \text{ est impaire}}$$

4. $k(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$

• Étape 1 : domaine $D_k = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. On a $1 \in D_k$ mais $-1 \notin D_k$.
• Conclusion $$\boxed{k \text{ n'est ni paire ni impaire}}$$

Exercice 3

Niveau : Difficile

1. Déterminer le domaine de définition de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - x}$.
2. Soit $g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{|x| - 2}$. Déterminer $D_g$ et montrer que $g$ est paire.
3. $u$ est une fonction impaire définie sur $\mathbb{R}$ telle que $u(x) = x^2 - 2x$ pour tout $x \geq 0$. Exprimer $u(x)$ pour $x < 0$.

Corrigé

1. $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - x}$

• Étape 1 : écrire les conditions : Il faut $x + 3 \geq 0$ (racine) et $x^2 - x \neq 0$ (dénominateur).
• $$\begin{aligned} x + 3 \geq 0 &\iff x \geq -3 \\ x^2 - x = x(x - 1) \neq 0 &\iff x \neq 0 \text{ et } x \neq 1 \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{D_f = [-3\,;\,+\infty[ \setminus \{0\,;\,1\}}$$

2. $g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{|x| - 2}$

• Étape 1 : domaine $|x| - 2 = 0 \iff |x| = 2 \iff x = -2$ ou $x = 2$. Donc $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;\,2\}$, symétrique par rapport à $0$.
• Étape 2 : calculer g(−x) : Pour tout $x \in D_g$ :
• $$g(-x) = \dfrac{(-x)^2 - 1}{|-x| - 2} = \dfrac{x^2 - 1}{|x| - 2} = g(x)$$
• Conclusion $$\boxed{D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;\,2\} \;\text{ et }\; g \text{ est paire}}$$

3. Expression de $u(x)$ pour $x < 0$

• Étape 1 : se ramener à un réel positif : Si $x < 0$, alors $-x > 0$, donc on peut appliquer la formule à $-x$ :
• $$u(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$$
• Étape 2 : utiliser l'imparité $u$ est impaire, donc $u(x) = -u(-x)$ :
• $$u(x) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x$$
• Conclusion $$\boxed{\forall x < 0,\;\; u(x) = -x^2 - 2x}$$