Proposition – Fonction propositionnelle

Activité

Parmi les énoncés suivants, lesquels sont vrais, lesquels sont faux, et lesquels ne peuvent pas être jugés ?

1. $7$ est un nombre premier.
2. $\sqrt{16} = -4$.
3. $x + 2 = 5$.
4. Quelle heure est-il ?
5. $\cos 0 = 1$

Constat : les énoncés 1 et 5 sont vrais, l'énoncé 2 est faux (car $\sqrt{16} = 4$). L'énoncé 3 ne peut pas être jugé tant qu'on ne sait pas qui est $x$ : il est vrai pour $x = 3$ et faux pour $x = 0$. L'énoncé 4 est une question, ce n'est pas un énoncé mathématique.

Définition : proposition

On appelle proposition tout énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux, sans être les deux à la fois.

Si une proposition est vraie, on dit que sa valeur de vérité est $V$ (ou $1$) ; si elle est fausse, sa valeur de vérité est $F$ (ou $0$).

$$\boxed{\text{Une proposition possède une et une seule valeur de vérité : } V \text{ ou } F}$$

On note souvent les propositions par des lettres majuscules : $P$, $Q$, $R$…

Exemples

1. « $12$ est divisible par $3$ » est une proposition vraie, car $12 = 3 \times 4$.
2. « $(-3)^2 = -9$ » est une proposition fausse, car $(-3)^2 = (-3)\times(-3) = 9$.
3. « $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ » est une proposition vraie : c'est une valeur remarquable du cosinus.
4. « $2x + 1$ est impair » n'est pas une proposition tant que $x$ n'est pas précisé : sa vérité dépend de $x$.

Remarque

Ne sont pas des propositions :

• une question ou un ordre (« Calculer $3 + 4$ ») ;
• un énoncé contenant une variable non précisée, comme « $x > 3$ » : il n'est ni vrai ni faux tant qu'on ne connaît pas $x$.

Un énoncé peut être une proposition même si l'on ne sait pas encore s'il est vrai ou faux : ce qui compte, c'est qu'il ait une valeur de vérité.

Définition : fonction propositionnelle

Soit $E$ un ensemble. On appelle fonction propositionnelle (ou prédicat) définie sur $E$ tout énoncé $P(x)$ contenant une variable $x$, qui devient une proposition dès qu'on remplace $x$ par un élément $a$ de $E$.

$$\boxed{x \in E \;\longmapsto\; P(x) \quad\text{et}\quad P(a) \text{ est une proposition pour tout } a \in E}$$

Une fonction propositionnelle peut contenir plusieurs variables : on écrit alors $P(x, y)$, $P(x, y, z)$…

Exemples

• $P(x) : x^2 - 3x + 2 = 0$, avec $x \in \mathbb{R}$.
• $P(1)$ : $1 - 3 + 2 = 0$, donc $P(1)$ est vraie ;
• $P(2)$ : $4 - 6 + 2 = 0$, donc $P(2)$ est vraie ;
• $P(0)$ : $0 - 0 + 2 = 2 \neq 0$, donc $P(0)$ est fausse.

1. $Q(n)$ : « $n$ est pair », avec $n \in \mathbb{N}$. $Q(4)$ est vraie et $Q(7)$ est fausse.

1. $R(x, y) : x + y = 5$, avec $(x, y) \in \mathbb{R}^2$. $R(2, 3)$ est vraie car $2 + 3 = 5$, et $R(1, 1)$ est fausse car $1 + 1 = 2$.

Application

Pour chaque énoncé, dire s'il s'agit d'une proposition (et donner sa valeur de vérité) ou d'une fonction propositionnelle :

1. $\sqrt{25} + \sqrt{9} = \sqrt{34}$
2. $2x - 6 = 0$, où $x \in \mathbb{R}$
3. $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$
4. « $n^2 + n$ est pair », où $n \in \mathbb{N}$