Exercices corrigés : Définition et notations

Exercice 1

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2}$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_{10}$.
2. Exprimer $u_{n+1}$ et $u_{2n}$ en fonction de $n$.
3. Déterminer l'entier $n$ tel que $u_n = \dfrac{5}{2}$.

Corrigé

1. Calcul de termes

• Étape 1 : remplacer $n$ : On remplace $n$ par $0$, $1$, $2$ puis $10$ dans $\dfrac{3n + 1}{n + 2}$.
• Conclusion $$\boxed{u_0 = \dfrac{1}{2} \qquad u_1 = \dfrac{4}{3} \qquad u_2 = \dfrac{7}{4} \qquad u_{10} = \dfrac{31}{12}}$$

2. $u_{n+1}$ et $u_{2n}$

• Étape 1 : remplacer $n$ partout : On remplace $n$ par $n + 1$, puis par $2n$ :
• $$\begin{aligned} u_{n+1} &= \dfrac{3(n + 1) + 1}{(n + 1) + 2} = \dfrac{3n + 4}{n + 3} \\ u_{2n} &= \dfrac{3 \times 2n + 1}{2n + 2} = \dfrac{6n + 1}{2n + 2} \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{u_{n+1} = \dfrac{3n + 4}{n + 3} \quad \text{et} \quad u_{2n} = \dfrac{6n + 1}{2n + 2}}$$

3. Résoudre $u_n = \dfrac{5}{2}$

• Étape 1 : produit en croix $n + 2 > 0$, on peut donc multiplier les deux membres par $2(n + 2)$ :
• $$\begin{aligned} u_n = \dfrac{5}{2} &\iff 2(3n + 1) = 5(n + 2) \\ &\iff 6n + 2 = 5n + 10 \\ &\iff n = 8 \end{aligned}$$
• Étape 2 : vérifier $u_8 = \dfrac{25}{10} = \dfrac{5}{2}$.
• Conclusion $$\boxed{n = 8}$$

Exercice 2

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
2. On pose $v_n = u_n + 3$. Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$. Que remarque-t-on ?
3. Montrer que $v_{n+1} = 2v_n$ pour tout $n$.
4. Conjecturer une expression de $v_n$, puis de $u_n$, en fonction de $n$.

Corrigé

1. Termes de $(u_n)$

• Étape 1 : de proche en proche : Chaque terme se calcule à partir du précédent :
• $$\begin{aligned} u_1 &= 2 \times 1 + 3 = 5 \\ u_2 &= 2 \times 5 + 3 = 13 \\ u_3 &= 2 \times 13 + 3 = 29 \\ u_4 &= 2 \times 29 + 3 = 61 \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{u_1 = 5,\;\; u_2 = 13,\;\; u_3 = 29,\;\; u_4 = 61}$$

2. Termes de $(v_n)$

• Étape 1 : ajouter 3 $v_0 = 4$, $v_1 = 8$, $v_2 = 16$, $v_3 = 32$, $v_4 = 64$ : chaque terme est le double du précédent.
• Conclusion $$\boxed{v_0 = 4,\;\; v_1 = 8,\;\; v_2 = 16,\;\; v_3 = 32,\;\; v_4 = 64}$$

3. $v_{n+1} = 2v_n$

• Étape 1 : partir de $v_{n+1}$ : On remplace $u_{n+1}$ par $2u_n + 3$ :
• $$v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = 2u_n + 6 = 2(u_n + 3) = 2v_n$$
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; v_{n+1} = 2v_n}$$

4. Conjecture

• Étape 1 : lire les puissances de 2 $v_0 = 4 = 2^2$, $v_1 = 2^3$, $v_2 = 2^4$ : on conjecture $v_n = 2^{n+2}$, puis $u_n = v_n - 3$.
• Conclusion $$\boxed{v_n = 2^{n+2} \quad \text{et} \quad u_n = 2^{n+2} - 3}$$

Exercice 3

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = u_n + 2n + 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
2. Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.

Corrigé

1. Premiers termes

• Étape 1 : choisir la bonne valeur de $n$ : Pour $u_1$ on prend $n = 0$, pour $u_2$ on prend $n = 1$, etc. :
• $$\begin{aligned} u_1 &= 0 + 0 + 3 = 3 \\ u_2 &= 3 + 2 + 3 = 8 \\ u_3 &= 8 + 4 + 3 = 15 \\ u_4 &= 15 + 6 + 3 = 24 \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{u_1 = 3,\;\; u_2 = 8,\;\; u_3 = 15,\;\; u_4 = 24}$$

2. Conjecture

• Étape 1 : comparer aux carrés $3 = 4 - 1$, $8 = 9 - 1$, $15 = 16 - 1$, $24 = 25 - 1$ : chaque terme est un carré moins $1$.
• Conclusion $$\boxed{u_n = (n + 1)^2 - 1 = n^2 + 2n}$$

3. Démonstration par récurrence

• Étape 1 : initialisation : Pour $n = 0$ : $0^2 + 2 \times 0 = 0 = u_0$.
• Étape 2 : hérédité : On suppose $u_n = n^2 + 2n$ pour un entier $n$ fixé. Alors :
• $$\begin{aligned} u_{n+1} &= n^2 + 2n + 2n + 3 \\ &= n^2 + 4n + 3 \\ &= (n + 1)^2 + 2(n + 1) \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; u_n = n^2 + 2n}$$

Exercice 4

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{\sqrt{1 + u_n^2}}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Montrer par récurrence que $u_n > 0$ pour tout $n$.
3. On pose $v_n = \dfrac{1}{u_n^2}$. Montrer que $v_{n+1} = v_n + 1$.
4. En déduire $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.

Corrigé

1. Premiers termes

• Étape 1 : de proche en proche : On calcule $1 + u_n^2$ à chaque fois :
• $$\begin{aligned} u_1 &= \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ u_2 &= \dfrac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{1 + \frac{1}{2}}} = \dfrac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ u_3 &= \dfrac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{1 + \frac{1}{3}}} = \dfrac{1/\sqrt{3}}{2/\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{u_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}},\;\; u_2 = \dfrac{1}{\sqrt{3}},\;\; u_3 = \dfrac{1}{2}}$$

2. $u_n > 0$

• Étape 1 : initialisation $u_0 = 1 > 0$.
• Étape 2 : hérédité : Si $u_n > 0$, alors $u_{n+1}$ est le quotient de $u_n > 0$ par $\sqrt{1 + u_n^2} > 0$, donc $u_{n+1} > 0$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; u_n > 0}$$

3. $v_{n+1} = v_n + 1$

• Étape 1 : élever au carré puis inverser $u_n \neq 0$, donc $v_n$ existe, et :
• $$v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n+1}^2} = \dfrac{1 + u_n^2}{u_n^2} = \dfrac{1}{u_n^2} + 1 = v_n + 1$$
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; v_{n+1} = v_n + 1}$$

4. Expressions de $v_n$ et $u_n$

• Étape 1 : $v_n$ $v_0 = 1$ et on ajoute $1$ à chaque rang, donc $v_n = n + 1$ (récurrence immédiate : $v_0 = 0 + 1$, et si $v_n = n + 1$ alors $v_{n+1} = n + 2$).
• Étape 2 : $u_n$ $u_n^2 = \dfrac{1}{v_n} = \dfrac{1}{n + 1}$, et $u_n > 0$ d'après la question 2.
• Conclusion $$\boxed{v_n = n + 1 \quad \text{et} \quad u_n = \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}}}$$