Exercices corrigés : Cardinal d'un ensemble fini et principe multiplicatif

Exercice 1

Soient deux ensembles finis $A$ et $B$ d'un univers $E$ tels que $\text{card}(A) = 12$, $\text{card}(B) = 18$ et $\text{card}(A \cap B) = 5$.
1. Calculer $\text{card}(A \cup B)$.
2. Déterminer le nombre d'éléments appartenant uniquement à $B$ mais pas à $A$.

Indication

Utiliser $\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$ et $\text{card}(B \setminus A) = \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$.

Corrigé

1. Calcul de card(A ∪ B)

• Formule du cardinal de l'union : On applique la relation générale :
• $$\begin{aligned} \text{card}(A \cup B) &= \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) \\ &= 12 + 18 - 5 \\ &= 25 \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{\text{card}(A \cup B) = 25}$$

2. Éléments appartenant uniquement à B

• Différence : Le nombre d'éléments de $B$ n'appartenant pas à $A$ est :
• $$\begin{aligned} \text{card}(B \setminus A) &= \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) \\ &= 18 - 5 \\ &= 13 \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{\text{card}(B \setminus A) = 13}$$