Les nombres n!, Aₙᵖ et Cₙᵖ

Introduction aux outils de calcul combinatoire

Cette partie rassemble les trois outils numériques fondamentaux du dénombrement : la factorielle $n!$, les arrangements sans répétition $A_n^p$, et les combinaisons $C_n^p$.

1. Le nombre n! (Factorielle n pour n ∈ ℕ)

Soit $n$ un entier naturel.

Le nombre $n!$ se lit « factorielle $n$ » et on a :
$$\boxed{n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1}$$

Conventions indispensables :
$$\boxed{0! = 1} \quad \text{et} \quad \boxed{1! = 1}$$

Exemples et utilisation de la calculatrice pour n!

• $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
• $9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362\,880$

Utilisation de la calculatrice :
Pour calculer $9!$ : taper `9` $\to$ `shift` $\to$ `x!` (ou touche $x^{-1}$) $\to$ `=` $\to$ `362880`.

2. Le nombre Aₙᵖ (Arrangement de p parmi n avec p ≤ n)

Le nombre $A_n^p$ est appelé arrangement de $p$ parmi $n$.

Le nombre des arrangements de $p$ éléments parmi $n$ éléments distincts est :
$$\boxed{A_n^p = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}}$$

Cas particuliers :
$$\boxed{A_n^1 = n}, \quad \boxed{A_n^n = n!}, \quad \boxed{A_n^0 = 1}$$

Exemples et utilisation de la calculatrice pour Aₙᵖ

• $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$
• $A_9^2 = 9 \times 8 = 72$
• $A_{11}^4 = 11 \times 10 \times 9 \times 8 = 7\,920$

Utilisation de la calculatrice :
Pour calculer $A_5^3$ : taper `5` $\to$ `shift` $\to$ `nPr` (ou touche $\times$) $\to$ `3` $\to$ `=` $\to$ `60`.

3. Le nombre Cₙᵖ (Combinaison de p parmi n avec p ≤ n)

Le nombre $C_n^p$ (noté aussi $\binom{n}{p}$) est appelé combinaison de $p$ parmi $n$.

Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ éléments distincts est :
$$\boxed{C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}}$$

Exemples et utilisation de la calculatrice pour Cₙᵖ

• $C_7^2 = \dfrac{A_7^2}{2!} = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$
• $C_5^3 = \dfrac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$

Utilisation de la calculatrice :
Pour calculer $C_7^2$ : taper `7` $\to$ `shift` $\to$ `nCr` (ou touche $\div$) $\to$ `2` $\to$ `=` $\to$ `21`.

Propriétés comparatives des nombres n!, Aₙᵖ et Cₙᵖ

Pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $0 \leq p \leq n$ :

• $\boxed{1! = 0! = 1}$
• $\boxed{A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}}$
• $\boxed{C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}}$
• $\boxed{C_n^0 = 1}, \quad \boxed{C_n^1 = n}, \quad \boxed{C_n^n = 1}$
• Symétrie : $\boxed{C_n^p = C_n^{n-p}}$
• Formule de Pascal : $\boxed{C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p}$

Permutations et Permutations avec répétitions (Anagrammes)

• Une permutation de $n$ éléments distincts est un arrangement de $n$ parmi $n$, valant $\boxed{n!}$.
• Si parmi $n$ éléments, il y a $n_1$ éléments identiques de type 1, $n_2$ de type 2, ..., $n_k$ de type $k$ ($n_1 + \dots + n_k = n$), le nombre d'anagrammes distincts (permutations avec répétitions) est :
$$\boxed{N = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \cdots \times n_k!}}$$

Application : Calculs combinatoires et anagrammes

1. Calculer $A_6^3$, $C_6^3$, $C_8^6$ et $5!$.
2. De combien de manières peut-on asseoir 6 personnes sur 6 chaises numérotées ?
3. Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot MAROC ? Et avec le mot CELLULE ?