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Exercices corrigés : 1. Dérivabilité en un point

2 exercices sur « 1. Dérivabilité en un point », partie 1 du cours « Dérivation » — 2ème Bac PC & SVT.

Exercice 1 : Dérivabilité d'une fonction rationnelle en un point

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

Étudiez la dérivabilité de $f$ en $a = 2$ et déterminez l'équation de la tangente $(T)$ en ce point.

Calculez d'abord $f(2)$, puis écrivez la différence $f(x) - f(2)$ sous un seul dénominateur pour simplifier le taux de variation.

Image de 2 : La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. On a $f(2) = \frac{2+1}{2-1} = 3$.
Taux de variation : Exprimons le taux de variation de $f$ entre $x$ et $2$ :
$$\begin{aligned} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} &= \frac{\frac{x+1}{x-1} - 3}{x - 2} \\ &= \frac{\frac{x+1 - 3(x-1)}{x-1}}{x - 2} \\ &= \frac{\frac{-2x + 4}{x-1}}{x - 2} \\ &= \frac{-2(x-2)}{(x-1)(x-2)} \\ &= \frac{-2}{x-1} \end{aligned}$$
Calculons maintenant la limite quand $x$ tend vers 2 : $$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{-2}{x-1} = \frac{-2}{1} = -2$$
Conclusion : La limite est réelle. Donc la fonction $f$ est dérivable en $2$ avec $f'(2) = -2$. L'équation de la tangente $(T)$ en ce point est : $$y = f'(2)(x - 2) + f(2) = -2(x - 2) + 3 = -2x + 7$$

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x^2 + x$.

Déterminez le nombre dérivé de $f$ en $a = 0$ par la définition et donnez l'équation de la tangente $(T)$ correspondante.

Utilisez la forme simplifiée du taux de variation $\frac{f(x) - f(0)}{x-0}$ car $f(0) = 0$.

Taux de variation : On a $f(0) = 0$. Le taux de variation de $f$ en $0$ s'écrit :
$$\begin{aligned} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} &= \frac{2x^2 + x - 0}{x} \\ &= \frac{x(2x + 1)}{x} \\ &= 2x + 1 \end{aligned}$$
Calculons la limite quand $x$ tend vers $0$ : $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} (2x + 1) = 1$$
Conclusion : Puisque la limite est réelle, $f$ est dérivable en $0$ and $f'(0) = 1$. L'équation de la tangente $(T)$ en $0$ est : $$y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 1(x) + 0 = x$$