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Exercices corrigés : 2. Dérivabilité à droite et à gauche

2 exercices sur « 2. Dérivabilité à droite et à gauche », partie 2 du cours « Dérivation » — 2ème Bac PC & SVT.

Exercice 1 : Étude de point de raccordement

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \ge 0 \\ -x^2 & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

Étudiez la dérivabilité de $f$ en $a = 0$ et interprétez géométriquement.

Calculez séparément $f'_d(0)$ et $f'_g(0)$ en étudiant le taux de variation pour $x > 0$ et $x < 0$.

Valeur à l'origine : On a $f(0) = 0$.
Calculons les dérivées latérales en 0 : $$\begin{aligned} \text{À droite : } f'_d(0) &= \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} x = 0 \\ \text{À gauche : } f'_g(0) &= \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x^2}{x} = \lim_{x \to 0^-} -x = 0 \end{aligned}$$
Conclusion : On constate que $f'_d(0) = f'_g(0) = 0$. La fonction $f$ est donc dérivable en $0$ et $f'(0) = 0$. Géométriquement, la courbe $(C_f)$ admet au point $O(0,0)$ une tangente unique horizontale (d'équation $y = 0$).

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x|x - 3|$.

Étudiez la dérivabilité de $f$ en $a = 3$ et déterminez les équations des demi-tangentes en ce point.

Exprimez $f(x)$ sans la valeur absolue selon que $x \ge 3$ ou $x < 3$.

Image : On a $f(3) = 3|3 - 3| = 0$.
Étude du signe : Dressons le tableau de signes de l'expression $x - 3$ pour exprimer la fonction sans la valeur absolue :
Expressions sans valeur absolue : Ainsi : • Si $x \ge 3$, $f(x) = x(x - 3) = x^2 - 3x$. • Si $x < 3$, $f(x) = -x(x - 3) = 3x - x^2$.
Calculons les limites des taux de variation : $$\begin{aligned} \text{À droite : } \lim_{x \to 3^+} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} &= \lim_{x \to 3^+} \frac{x(x-3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^+} x = 3 \\ \text{À gauche : } \lim_{x \to 3^-} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} &= \lim_{x \to 3^-} \frac{-x(x-3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} -x = -3 \end{aligned}$$
Conclusion : On a $f'_d(3) = 3$ et $f'_g(3) = -3$. La fonction $f$ n'est pas dérivable en $3$. Le point $A(3, 0)$ est un point anguleux. • Équation de la demi-tangente à droite : $$(T_d) : y = 3(x - 3) \quad \text{pour } x \ge 3$$ • Équation de la demi-tangente à gauche : $$(T_g) : y = -3(x - 3) \quad \text{pour } x \le 3$$