Exercices corrigés : Équation différentielle du 1er ordre y' = ay + b

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle $(E) : 2y' + y = 4$.

Indication

Commencez par diviser toute l'équation par 2 pour vous ramener à la forme $y' = ay + b$.

Corrigé

1. Mise sous forme canonique

• On écrit l'équation sous la forme $y' = ay + b$ :
• $$2y' = -y + 4$$ $$y' = -\frac{1}{2}y + 2$$

2. Application de la formule

• On identifie $a = -\frac{1}{2}$ et $b = 2$.
• La solution est donnée par $y(x) = \alpha e^{ax} - \frac{b}{a}$ :
• $$ y(x) = \alpha e^{-\frac{1}{2}x} - \frac{2}{-\frac{1}{2}} $$
• Donc $y(x) = \alpha e^{-\frac{1}{2}x} + 4 \quad (\alpha \in \mathbb{R})$

Exercice 2

Déterminer l'unique solution de l'équation $y' = 3y + 6$ qui s'annule en $x=0$.

Corrigé

1. Solution générale

• On a $a = 3$ et $b = 6$.
• $$y(x) = \alpha e^{3x} - \frac{6}{3}$$ $$y(x) = \alpha e^{3x} - 2$$

2. Solution particulière

• La condition initiale est "la fonction s'annule en $x=0$", donc $y(0) = 0$.
• $$\alpha e^{3(0)} - 2 = 0$$ $$\alpha - 2 = 0 \implies \alpha = 2$$
• Finalement : La solution est $y(x) = 2e^{3x} - 2$.