Introduction et Généralités

Introduction

En physique, en chimie, en biologie ou en économie, on rencontre souvent des phénomènes dont l'évolution dépend de la quantité présente à un instant donné (par exemple la désintégration radioactive ou la croissance d'une population). Mathématiquement, cela se traduit par une relation entre une fonction $y$ et sa dérivée $y'$, voire ses dérivées d'ordre supérieur. Une telle relation s'appelle une équation différentielle.

Définition

Une équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction (généralement notée $y$), et qui fait intervenir cette fonction ainsi que ses dérivées successives ($y'$, $y''$, etc.).

Résoudre ou intégrer une équation différentielle sur un intervalle $I$, c'est trouver toutes les fonctions dérivables sur $I$ qui vérifient cette équation.

Remarque importante

Contrairement aux équations algébriques classiques (comme $x^2 + 2x - 3 = 0$) où l'inconnue $x$ est un nombre réel ou complexe, dans une équation différentielle, l'inconnue est une fonction complète $x \mapsto y(x)$.

Exemples introductifs

L'équation $y' = 2y$ est une équation différentielle du premier ordre (car seule la dérivée première $y'$ intervient).
L'équation $y'' + 4y = 0$ est une équation différentielle du second ordre (car la dérivée seconde $y''$ intervient).