Exercices corrigés : Notion de fonction primitive

Exercice 1

Vérifier que la fonction $F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x$ est une primitive de $f(x) = x^2 - 2$ sur $\mathbb{R}$.

Indication

Pour vérifier qu'une fonction est une primitive, il suffit de la dériver.

Corrigé

Calcul de la dérivée

• On a $F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x$.
• Calculons la dérivée $F'(x)$ :
• $$F'(x) = \frac{1}{3}(3x^2) - 2$$ $$F'(x) = x^2 - 2$$
• Donc : Comme $F'(x) = f(x)$, $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 2

Déterminer l'unique primitive $F$ de la fonction $f(x) = 4x$ vérifiant $F(2) = 10$.

Corrigé

1. Forme générale des primitives

• On sait que la dérivée de $2x^2$ est $4x$.
• Primitives $$F(x) = 2x^2 + c \quad (c \in \mathbb{R})$$

2. Utilisation de la condition initiale

• On cherche la constante $c$ telle que $F(2) = 10$ :
• $$2(2)^2 + c = 10$$ $$8 + c = 10 \implies c = 2$$
• Finalement : L'unique primitive cherchée est $F(x) = 2x^2 + 2$.