Exercices corrigés : 1. Définition et Propriétés Algébriques

Exercice 1

Exercice 1 : Déterminer l'ensemble de définition des fonctions complexes suivantes en dressant pour chacune un tableau de signes rigoureux :
1. $f_1(x) = \ln\left(\frac{2x+4}{3-x}\right)$
2. $f_2(x) = \ln(|x^2 - 4x + 3|)$
3. $f_3(x) = \sqrt{(x - 2)\ln(x - 1)}$
4. $f_4(x) = \ln(\ln(x^2 - 3))$
5. $f_5(x) = \sqrt{\frac{\ln x}{2 - \ln x}}$

Indication

Pour chaque fonction, appliquer la définition formelle de l'ensemble d'existence et étudier le signe du numérateur, du dénominateur ou du produit à l'aide d'un tableau de signes.

Corrigé

1. $f_1(x) = \ln\left(\frac{2x+4}{3-x}\right)$

• Définition formelle $$D_{f_1} = \left\{ x \in \mathbb{R} \ / \ 3 - x \neq 0 \text{ et } \frac{2x+4}{3-x} > 0 \right\}$$
• Tableau de signes du quotient : Numérateur : $2x + 4 = 0 \iff x = -2$. Dénominateur (valeur interdite) : $3 - x = 0 \iff x = 3$.
• Domaine final $$D_{f_1} = ]-2, 3[$$

2. $f_2(x) = \ln(|x^2 - 4x + 3|)$

• Condition de la valeur absolue $$D_{f_2} = \left\{ x \in \mathbb{R} \ / \ |x^2 - 4x + 3| > 0 \right\}$$
• Étude des valeurs d'annulation du trinôme : La valeur absolue est toujours positive ou nulle. L'inégalité est vérifiée si et seulement si $x^2 - 4x + 3 \neq 0$. Les racines du trinôme sont $x_1 = 1$ et $x_2 = 3$.
• Domaine final $$D_{f_2} = \mathbb{R} \setminus \{1, 3\} = ]-\infty, 1[ \cup ]1, 3[ \cup ]3, +\infty[$$

3. $f_3(x) = \sqrt{(x - 2)\ln(x - 1)}$

• Conditions cumulées $$D_{f_3} = \left\{ x \in \mathbb{R} \ / \ x - 1 > 0 \text{ et } (x-2)\ln(x-1) \ge 0 \right\}$$
• Tableau de signes du produit sur $]1, +\infty[$ • $x - 2 = 0 \iff x = 2$ • $\ln(x - 1) = 0 \iff x - 1 = 1 \iff x = 2$
• Domaine final : Le produit est toujours positif ou nul pour tout $x \in ]1, +\infty[$. $$D_{f_3} = ]1, +\infty[$$

4. $f_4(x) = \ln(\ln(x^2 - 3))$

• Imbrication des logarithmes $$D_{f_4} = \left\{ x \in \mathbb{R} \ / \ x^2 - 3 > 0 \text{ et } \ln(x^2 - 3) > 0 \right\}$$
• Simplification de l'inéquation principale $\ln(x^2 - 3) > 0 \iff x^2 - 3 > 1 \iff x^2 - 4 > 0 \iff (x-2)(x+2) > 0$.
• Tableau de signes de $x^2 - 4$ : Dressons le tableau de signes :
• Domaine final $$D_{f_4} = ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$$

5. $f_5(x) = \sqrt{\frac{\ln x}{2 - \ln x}}$

• Conditions cumulées $$D_{f_5} = \left\{ x \in ]0, +\infty[ \ / \ 2 - \ln x \neq 0 \text{ et } \frac{\ln x}{2 - \ln x} \ge 0 \right\}$$
• Tableau de signes du quotient sur $]0, +\infty[$ • Numérateur : $\ln x = 0 \iff x = 1$ • Dénominateur (valeur interdite) : $2 - \ln x = 0 \iff \ln x = 2$
• Domaine final : Le quotient est positif ou nul pour $x \in [1, x_0[$. $$D_{f_5} = [1, x_0[ \quad \text{avec } \ln(x_0) = 2$$

Exercice 2

Exercice 2 : Simplifier au maximum les expressions suivantes :
1. $A = \ln(81) - 2\ln(9) + \ln(\sqrt{27})$
2. $B = \ln(32) - \ln(8) + \ln\left(\frac{1}{4}\right)$
3. $C = \ln(3 + \sqrt{5}) + \ln(3 - \sqrt{5}) - \ln(2)$

Indication

Utiliser les propriétés algébriques $\ln(a^r) = r\ln(a)$, $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ et l'identité remarquable $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Corrigé

1. Simplification de $A = \ln(81) - 2\ln(9) + \ln(\sqrt{27})$

• Écriture sous forme de puissances de $3$ • $\ln(81) = \ln(3^4) = 4\ln(3)$ • $2\ln(9) = 2\ln(3^2) = 4\ln(3)$ • $\ln(\sqrt{27}) = \ln\left(3^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{3}{2}\ln(3)$
• $$A = 4\ln(3) - 4\ln(3) + \frac{3}{2}\ln(3) = \frac{3}{2}\ln(3)$$
• Résultat final $$A = \frac{3}{2}\ln(3)$$

2. Simplification de $B = \ln(32) - \ln(8) + \ln\left(\frac{1}{4}\right)$

• Écriture sous forme de puissances de $2$ • $\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{\frac{5}{2}} \implies \ln(\sqrt{32}) = \frac{5}{2}\ln(2)$ • $\ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln(2^2) = -2\ln(2)$
• $$B = 5\ln(2) - 3\ln(2) - 2\ln(2) = (5 - 3 - 2)\ln(2) = 0$$
• Résultat final $$B = 0$$

3. Simplification de $C = \ln(3 + \sqrt{5}) + \ln(3 - \sqrt{5}) - \ln(2)$

• Application du logarithme d'un produit $$\ln(3 + \sqrt{5}) + \ln(3 - \sqrt{5}) = \ln\left((3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})\right) = \ln(3^2 - (\sqrt{5})^2) = \ln(9 - 5) = \ln(4)$$
• $$C = \ln(4) - \ln(2) = \ln\left(\frac{4}{2}\right) = \ln(2)$$
• Résultat final $$C = \ln(2)$$