Exercices corrigés : 2. Équations et Inéquations Logarithmiques

Exercice 1

Exercice 1 : Résoudre dans $\mathbb{R}$ les 10 équations et inéquations logarithmiques suivantes :
1. $\ln(2x - 3) = \ln(x + 5)$
2. $\ln(x^2 - 8) = \ln(2x)$
3. $\ln(4x - 1) \ge \ln(x + 8)$
4. $\ln(x^2 - 5x) < \ln(6)$
5. $\ln(3x - 5) > 0$
6. $\ln(x^2 - 8) \le 0$
7. $\ln(4x + 5) < 0$
8. $\ln(|2x - 7|) = 0$
9. $(\ln x)^2 - 3\ln(x) + 2 = 0$
10. $\ln(x + 2) + \ln(x - 1) = \ln(10)$

Indication

Pour chaque équation ou inéquation, appliquer la méthode rigoureuse en 3 étapes : 1. Déterminer le domaine $D_E$, 2. Résoudre algébriquement (utiliser $X = \ln x$ ou la propriété du produit au besoin), 3. Conclure par l'intersection $S = S_{\text{alg}} \cap D_E$.

Corrigé

1. Résolution de $\ln(2x - 3) = \ln(x + 5)$

• 1. Domaine de validité $D_E$ : Condition : $2x - 3 > 0 \iff x > \frac{3}{2}$ et $x + 5 > 0 \iff x > -5$. $$D_E = \left]\frac{3}{2}, +\infty\right[ \cap ]-5, +\infty[ = \left]\frac{3}{2}, +\infty\right[$$"
• 2. Résolution sur $D_E$ : Pour tout $x \in D_E$ : $$\ln(2x - 3) = \ln(x + 5) \iff 2x - 3 = x + 5 \iff x = 8$$
• 3. Conclusion : Puisque $8 \in D_E$, la solution est $$\boxed{S_1 = \{8\}}$$

2. Résolution de $\ln(x^2 - 8) = \ln(2x)$

• 1. Domaine de validité $D_E$ : Condition : $x^2 - 8 > 0 \iff x \in ]-\infty, -2\sqrt{2}[ \cup ]2\sqrt{2}, +\infty[$ et $2x > 0 \iff x > 0$. $$D_E = ]2\sqrt{2}, +\infty[$$
• 2. Résolution sur $D_E$ : Pour tout $x \in D_E$ : $$\ln(x^2 - 8) = \ln(2x) \iff x^2 - 8 = 2x \iff x^2 - 2x - 8 = 0 \iff (x-4)(x+2) = 0$ Les candidats solutions sont $x = 4$ et $x = -2$.
• 3. Conclusion : Comme $4 \in D_E$ et $-2 \notin D_E$, la seule solution retenue est $$\boxed{S_2 = \{4\}}$$

3. Résolution de $\ln(4x - 1) \ge \ln(x + 8)$

• 1. Domaine de validité $D_E$ : Condition : $4x - 1 > 0 \iff x > \frac{1}{4}$ et $x + 8 > 0 \iff x > -8$. $$D_E = \left]\frac{1}{4}, +\infty\right[$$"
• 2. Résolution sur $D_E$ : Pour tout $x \in D_E$ : $$\ln(4x - 1) \ge \ln(x + 8) \iff 4x - 1 \ge x + 8 \iff 3x \ge 9 \iff x \ge 3$$
• 3. Conclusion : L'intersection $[3, +\infty[ \cap D_E$ donne $$\boxed{S_3 = [3, +\infty[}$$

4. Résolution de $\ln(x^2 - 5x) < \ln(6)$

• 1. Domaine de validité $D_E$ : Condition : $x(x-5) > 0$. $$D_E = ]-\infty, 0[ \cup ]5, +\infty[$$
• 2. Résolution sur $D_E$ : Pour tout $x \in D_E$ : $$\ln(x^2 - 5x) < \ln(6) \iff x^2 - 5x < 6 \iff x^2 - 5x - 6 < 0 \iff (x-6)(x+1) < 0$ L'inégalité algébrique donne $x \in ]-1, 6[$.
• 3. Conclusion : L'intersection avec $D_E$ donne $$\boxed{S_4 = ]-1, 0[ \cup ]5, 6[}$$

5. Résolution de $\ln(3x - 5) > 0$

• 1. Domaine de validité $D_E$ : Condition : $3x - 5 > 0 \iff x > \frac{5}{3}$. $$D_E = \left]\frac{5}{3}, +\infty\right[$$"
• 2. Résolution sur $D_E$ : Pour tout $x \in D_E$ : $$\ln(3x - 5) > 0 \iff 3x - 5 > 1 \iff 3x > 6 \iff x > 2$$
• 3. Conclusion : Puisque $]2, +\infty[ \subset D_E$, l'ensemble des solutions est $$\boxed{S_5 = ]2, +\infty[}$$

6. Résolution de $\ln(x^2 - 8) \le 0$

• 1. Domaine de validité $D_E$ : Condition : $x^2 - 8 > 0$. $$D_E = ]-\infty, -2\sqrt{2}[ \cup ]2\sqrt{2}, +\infty[$$
• 2. Résolution sur $D_E$ : Pour tout $x \in D_E$ : $$\ln(x^2 - 8) \le 0 \iff 0 < x^2 - 8 \le 1 \iff 8 < x^2 \le 9 \iff x \in [-3, -2\sqrt{2}[ \cup ]2\sqrt{2}, 3]$$
• 3. Conclusion : L'ensemble des solutions est $$\boxed{S_6 = [-3, -2\sqrt{2}[ \cup ]2\sqrt{2}, 3]}$$

7. Résolution de $\ln(4x + 5) < 0$

• 1. Domaine de validité $D_E$ : Condition : $4x + 5 > 0 \iff x > -\frac{5}{4}$. $$D_E = \left]-\frac{5}{4}, +\infty\right[$$"
• 2. Résolution sur $D_E$ : Pour tout $x \in D_E$ : $$\ln(4x + 5) < 0 \iff 0 < 4x + 5 < 1 \iff -5 < 4x < -4 \iff -\frac{5}{4} < x < -1$$
• 3. Conclusion : Puisque $\left]-\frac{5}{4}, -1\right[ \subset D_E$, l'ensemble des solutions est $$\boxed{S_7 = \left]-\frac{5}{4}, -1\right[}$$

8. Résolution de $\ln(|2x - 7|) = 0$

• 1. Domaine de validité $D_E$ : Condition : $|2x - 7| > 0 \iff x \neq \frac{7}{2}$. $$D_E = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{7}{2}\right\}$$"
• 2. Résolution sur $D_E$ : Pour tout $x \in D_E$ : $$\ln(|2x - 7|) = 0 \iff |2x - 7| = 1 \iff 2x - 7 = 1 \text{ ou } 2x - 7 = -1 \iff x = 4 \text{ ou } x = 3$$
• 3. Conclusion : Puisque $3 \in D_E$ et $4 \in D_E$, l'ensemble des solutions est $$\boxed{S_8 = \{3, 4\}}$$

9. Résolution de $(\ln x)^2 - 3\ln(x) + 2 = 0$

• 1. Domaine de validité $D_E$ $$D_E = ]0, +\infty[$$
• 2. Changement de variable $X = \ln x$ : En posant $X = \ln x$, l'équation devient un trinôme du second degré : $$X^2 - 3X + 2 = 0 \iff (X-1)(X-2) = 0 \iff X = 1 \text{ ou } X = 2$$ • $X = 1 \iff \ln x = 1 \iff x = e$ • $X = 2 \iff \ln x = 2 \iff x = e^2$$
• 3. Conclusion : Puisque $e \in D_E$ et $e^2 \in D_E$, l'ensemble des solutions est $$\boxed{S_9 = \{e, e^2\}}$$

10. Résolution de $\ln(x + 2) + \ln(x - 1) = \ln(10)$

• 1. Domaine de validité $D_E$ : Condition : $x + 2 > 0 \iff x > -2$ et $x - 1 > 0 \iff x > 1$. $$D_E = ]1, +\infty[$$
• 2. Résolution sur $D_E$ : Pour tout $x \in D_E$, on utilise la propriété de la somme : $$\ln((x+2)(x-1)) = \ln(10) \iff (x+2)(x-1) = 10 \iff x^2 + x - 12 = 0 \iff (x+4)(x-3) = 0$ Les candidats sont $x = 3$ et $x = -4$.
• 3. Conclusion : Comme $3 \in D_E$ et $-4 \notin D_E$, la seule solution retenue est $$\boxed{S_{10} = \{3\}}$$