4 exercices sur « Continuité en un point », partie 2 du cours « Limites et continuité » — 2ème Bac PC & SVT.
Exercice 1
Étudier la continuité de la fonction $f$ au point $a$ dans chacun des cas suivants :
$\begin{cases} f(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 5}{x - 1} & \text{si } x \neq 1 \\ f(1) = -4 \end{cases} \quad \text{au point } a = 1$
$\begin{cases} f(x) = \dfrac{x^2 + x - 12}{x - 3} & \text{si } x \neq 3 \\ f(3) = 7 \end{cases} \quad \text{au point } a = 3$
$\begin{cases} f(x) = \frac{x^3+2x^2+3x+2}{x^2+4x+3} & \text{si } x \neq -1 \\ f(-1) = \frac {1}{2} \end{cases} \quad \text{au point } a = -1 $
Indication
Calculer la limite $\lim_{x \to a} f(x)$ en factorisant le numérateur par $(x - a)$, puis comparer la valeur obtenue avec $f(a)$.
Corrigé
1) Étude de la continuité au point $a = 1$ de la fonction $f$ définie par : $\begin{cases} f(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 5}{x - 1} & \text{si } x \neq 1 \\ f(1) = -4 \end{cases}$
Analyse de la forme et méthode : Pour $x = 1$ on obtient une forme indeterminr $\frac{0}{0}$. On factorise le numérateur par $(x - 1)$ : $$x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$$
Conclusion : Puisque $\lim_{x \to 1} f(x) = -4 = f(1)$, la fonction $f$ est continue en $a = 1$.
2) Étude de la continuité au point $a = 3$ de la fonction $f$ définie par : $\begin{cases} f(x) = \dfrac{x^2 + x - 12}{x - 3} & \text{si } x \neq 3 \\ f(3) = 7 \end{cases}$
Analyse de la forme et méthode : pour $x = 3$ on obtient une forme indeterminer $\frac{0}{0}$ On factorise le numérateur par $(x - 3)$ : $$x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$$
Conclusion : Puisque $\lim_{x \to 3} f(x) = 7 = f(3)$, la fonction $f$ est continue en $a = 3$.
3) Étude de la continuité au point $a = 3$ de la fonction $f$ définie par : $\begin{cases} f(x) = \frac{x^3+2x^2+3x+2}{x^2+4x+3} & \text{si } x \neq -1 \\ f(-1) = \frac {1}{2} \end{cases} \quad \text{au point } a = -1 $
Factorisation : Pour $x=-1$ on obtient une forme indeterminer $\frac {0}{0}$ On factorise par $(x+1)$ $$x^3+2x^2+3x+2 =(x+1)(x^2+x+2) \\ x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)$$
Comme $\lim_{x \to -1} f(x) = 1 \neq f(-1) $, la fonction $f$ n'est pas continue en $-1$.
Exercice 2
Étudier la continuité de $f$ au point $x_0$ dans les cas suivants 1)$\begin{cases} f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1} & ; \, x \neq 1 \\ f(1) = \dfrac{3}{4} \end{cases} \quad ; \quad x_0 = 1$ 2)$\begin{cases} f(x) = \dfrac{x\sqrt{x+2}-4}{x-2} & ; \, x \neq 2 \\ f(2) = \dfrac{5}{2} \end{cases} \quad ; \quad x_0 = 2$
Indication
Pour les formes indéterminées $\frac{0}{0}$ avec des racines carrées, on utilise la technique de la quantité conjuguée pour factoriser et simplifier par $(x-x_0)$.
Astuce et méthode : Pour $x_0 = 1$ on obtient une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. L'astuce consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée de $\sqrt{x^2+x+2}-2$, c'est-à-dire $\sqrt{x^2+x+2}+2$
Astuce et méthode : La limite présente également une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On utilise l'expression conjuguée du numérateur $x\sqrt{x+2}+4$.
Calculons la limite en 2 $$\begin{aligned} \lim {_{x \to {2}}}f(x) &= \lim {_{x \to {2}}} \frac{(x\sqrt{x+2}-4)(x\sqrt{x+2}+4)}{(x-2)(x\sqrt{x+2}+4)} \\ &= \lim {_{x \to {2}}}\frac{x^2(x+2)-16}{(x-2)(x\sqrt{x+2}+4)} \\ &= \lim {_{x \to {2}}}\frac{x^3+2x^2-16}{(x-2)(x\sqrt{x+2}+4)} \end{aligned}$$ En factorisant le polynôme $x^3+2x^2-16$ par $(x-2)$, on obtient $x^3+2x^2-16 = (x-2)(x^2+4x+8)$. Ainsi : $$ \lim {_{x \to {2}}}f(x) = \lim {_{x \to {2}}} \frac{(x-2)(x^2+4x+8)}{(x-2)(x\sqrt{x+2}+4)} \\ = \lim {_{x \to {2}}} \frac{x^2+4x+8}{x\sqrt{x+2}+4} \\ = \frac{4+8+8}{2(2)+4} = \frac{5}{2} = f(2)$$
On a $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) $ alors $f$ est continue en $x=2$
Exercice 3
Soit $f$ la fonction définie par : $\begin{cases} f(x) = \dfrac{ax^2+bx-1}{x^2-1} & ; \, x \geqslant 2 \\ f(x) = 3x+c & ; \, x < 2 \end{cases}$ Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ pour que les conditions suivantes soient vérifiées : - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ - $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 3} f(x)$ - $f$ continue en $2$.
Indication
Traduis chaque condition sous forme d'équation en $a$, $b$ et $c$. Pour la continuité en $2$, utilise la limite à gauche et l'image en $2$.
Corrigé
Astuce et méthode : Nous allons exploiter séparément chacune des 3 conditions données par l'énoncé afin de former un système d'équations vérifié par $a$, $b$ et $c$.
Exploitation de la première condition $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ : Pour $x \geqslant 2$, $f(x) = \frac{ax^2+bx-1}{x^2-1}$. Il s'agit d'une fonction rationnelle au voisinage de $+\infty$ : $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} f(x) &= 2\\ \lim_{x \to +\infty} \frac{ax^2 +bx-1}{x^2-1} &=2 \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{ax^2}{x^2} & =2 \\ \boxed{a=2}& \end{aligned}$$
Exploitation de la continuité de $f$ en $2$ : La fonction $f$ est continue en $2$ si et seulement si $\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2)$. $
Résolution du système formé par (1) et (2) : On résout le système :$\begin{cases} 8c - 3b = 17 \\ 3c - 2b = -11 \end{cases}$ De l'équation (2), on a : $$ 2b = 3c + 11 \iff b = \frac{3c+11}{2}$$ On remplace $b$ dans l'équation (1) : $$8c - 3\left(\frac{3c+11}{2}\right) = 17 \\ \iff 16c - 9c - 33 = 34\\ \iff 7c = 67\\ \iff \boxed{ c = \frac{67}{7} }$$ On en déduit $b$ : $$b = \frac{3\left(\frac{67}{7}\right)+11}{2} \iff \boxed{b= \frac{139}{7} }$$
\text {Les réels cherchés sont }\boxed{a = 2, \quad b = \frac{139}{7}, \quad c = \frac{67}{7}}.
Exercice 4
Déterminer la valeur du paramètre réel $a$ pour que la fonction $g$ soit continue au point $x_0 = -1$ : $ \begin{cases} g(x) = x^3 + ax, & x > -1 \\ g(x) = -x + 1, & x \leq -1 \end{cases} $
Indication
Calculez la valeur de $g(-1)$, déduisez la limite à gauche, puis exprimez la limite à droite en fonction de $a$ et posez l'égalité pour résoudre l'équation.
Corrigé
Détermination du paramètre a pour que la fonction $g$ soit continue
Calcul de l'image et limite à gauche : Pour $x \leq -1$ : $g(x) = -x+1$,
donc $ \quad g(-1) = -(-1)+1 = 2$. On a également $\quad \lim_{x \to -1^-} g(x) = 2$.
Calcul de la limite à droite : Pour $x > -1$ : $g(x) = x^3+ax$.