Partie 1 sur 10 du cours « Nombres complexes » — 2ème Bac PC & SVT.
Introduction
L'introduction des nombres complexes résout un problème historique majeur : l'impossibilité de résoudre certaines équations du second degré à discriminant négatif (comme $x^2 + 1 = 0$). Dans ce nouvel ensemble, noté $\mathbb{C}$, il existe un nombre imaginaire $i$ tel que $i^2 = -1$.
Définition de l'ensemble ℂ
Il existe un ensemble de nombres, noté $\mathbb{C}$ et appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes :
Il contient l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$.
Il contient un élément imaginaire, noté $i$, tel que : $\boxed{i^2 = -1}$
Les règles de calcul (addition, multiplication) dans $\mathbb{C}$ sont les mêmes que dans $\mathbb{R}$.
Forme algébrique d'un nombre complexe
Tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique sous la forme : $\boxed{z = a + ib}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
Le réel $a$ est appelé la partie réelle de $z$, noté $\text{Re}(z)$.
Le réel $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$, noté $\text{Im}(z)$.
L'écriture $z = a + ib$ est appelée la forme algébrique de $z$.
Remarques sur les cas particuliers
Si $b = 0$, alors $z = a$ est un nombre réel.
Si $a = 0$ et $b \neq 0$, alors $z = ib$ est appelé un nombre imaginaire pur. L'ensemble des imaginaires purs est noté $i\mathbb{R}$.
Exemples
$z_1 = 3 + 8i$, alors $\text{Re}(z_1) = 3$ et $\text{Im}(z_1) = 8$.
$z_2 = 4 - i$, alors $\text{Re}(z_2) = 4$ et $\text{Im}(z_2) = -1$.
$z_3 = -7$, alors $\text{Re}(z_3) = -7$ et $\text{Im}(z_3) = 0$ (c'est un nombre réel).
$z_4 = 5i$, alors $\text{Re}(z_4) = 0$ et $\text{Im}(z_4) = 5$ (on a $z_4$ est un nombre imaginaire pur).
Soient $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ deux nombres complexes (avec $a, b, a', b' \in \mathbb{R}$) :
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales : $\boxed{z = z' \iff a = a' \quad \text{et} \quad b = b'}$
Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles : $\boxed{z = 0 \iff a = 0 \quad \text{et} \quad b = 0}$
Exemple d'identification
Soit le nombre complexe $z = (2x - 4) + i(y + 3)$ avec $x, y \in \mathbb{R}$.
• $z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle : $$y + 3 = 0 \iff y = -3$$ • $z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : $$2x - 4 = 0 \iff x = 2$$ • $z = 0$ si et seulement si : $$\begin{cases} 2x - 4 = 0 \\ y + 3 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 2 \\ y = -3 \end{cases}$$
Application résolue (Forme algébrique)
Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $Z = (2 - 3i)(1 + 4i)$.