Exercices corrigés : Représentation géométrique dans le plan
2 exercices sur « Représentation géométrique dans le plan », partie 2 du cours « Nombres complexes » — 2ème Bac PC & SVT.
Exercice 1
Soient $A, B$ et $C$ trois points d'affixes respectives $z_A = -1 + 2i$, $z_B = 1 + 3i$ et $z_C = 5 + 5i$. Déterminer si ces points sont alignés.
Indication
Calculez le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ et déterminez s'il appartient à $\mathbb{R}$.
Corrigé
Vérifier l'alignement
- Calcul : Posons le calcul :
- $$\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{(5 + 5i) - (-1 + 2i)}{(1 + 3i) - (-1 + 2i)}$$ $$\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{6 + 3i}{2 + i} = \frac{3(2 + i)}{2 + i} = 3$$
- Conclusion : Puisque $3 \in \mathbb{R}$, les points $A, B$ et $C$ sont alignés.
Exercice 2
Calculer l'affixe du point $D$ pour que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme, sachant que $z_A = 1+i$, $z_B = 3-i$ et $z_C = 4+2i$.
Indication
$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Corrigé
Résoudre l'équation vectorielle
- Équation : L'égalité vectorielle $\vec{AB} = \vec{DC}$ se traduit en affixes par :
- $$z_B - z_A = z_C - z_D$$ $$z_D = z_C - z_B + z_A$$
- Calcul : On remplace par les valeurs données :
- $$z_D = (4 + 2i) - (3 - i) + (1 + i)$$ $$z_D = 4 + 2i - 3 + i + 1 + i$$ $$z_D = 2 + 4i$$
- Conclusion : L'affixe du point $D$ est $2 + 4i$.
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