Exercices corrigés : Définition et expression analytique du produit scalaire

Exercice 1

Soient $\vec{u}(3, -1, 2)$ et $\vec{v}(1, 2, -1)$.
1. Calculer $\vec{u}.\vec{v}$.
2. Calculer $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.
3. En déduire $\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$.

Corrigé

1. Calculer $\vec{u}.\vec{v}$.

• On applique la formule $\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy' + zz'$
• $$\vec{u}.\vec{v} = 3 \times 1 + (-1) \times 2 + 2 \times (-1) = 3 - 2 - 2$$
• Donc $\vec{u}.\vec{v} = -1$.

2. Calculer $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.

• On a $\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$
• De même $\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

3. En déduire $\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$.

• On sait que $\vec{u}.\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$
• Donc $\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \frac{\vec{u}.\vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$
• $$\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \frac{-1}{\sqrt{14} \times \sqrt{6}} = \frac{-1}{\sqrt{84}} = \frac{-1}{2\sqrt{21}}$$
• Donc $\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = -\frac{\sqrt{21}}{42}$.

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $A(1, 0, 1)$, $B(3, 1, 2)$ et $C(2, -1, 3)$.
1. Calculer $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.
2. Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.
3. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Indication

Vérifier si un des produits scalaires est nul.

Corrigé

1. Calculer $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.

• On a $\overrightarrow{AB}(3-1, 1-0, 2-1) = \overrightarrow{AB}(2, 1, 1)$
• On a $\overrightarrow{AC}(2-1, -1-0, 3-1) = \overrightarrow{AC}(1, -1, 2)$
• On a $\overrightarrow{BC}(2-3, -1-1, 3-2) = \overrightarrow{BC}(-1, -2, 1)$.

2. Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.

• On a $AB = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$
• On a $AC = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$
• On a $BC = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.

3. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?

• On calcule $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 2 \times 1 + 1 \times (-1) + 1 \times 2 = 2 - 1 + 2 = 3 \neq 0$
• Donc le triangle n'est pas rectangle en $A$
• On remarque $AB = AC = BC = \sqrt{6}$
• Donc le triangle $ABC$ n'est pas rectangle, c'est un triangle équilatéral.