Orthogonalité de deux droites et représentation paramétrique

Représentation paramétrique d'une droite

Soit $(D)$ une droite passant par le point $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$.

Une représentation paramétrique de $(D)$ est :
$$\boxed{(D): \begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})}$$

Exemple

La droite $(D)$ passant par $A(2, -1, 3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1, 2, -1)$ a pour représentation paramétrique :
$$(D): \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

Vérifier si un point appartient à une droite

Pour vérifier si un point $M(x_0, y_0, z_0)$ appartient à une droite $(D)$ de représentation paramétrique donnée :
1. Remplacer $x$, $y$, $z$ par les coordonnées de $M$
2. Résoudre le système en $t$
3. Si on trouve une valeur de $t$ qui satisfait les trois équations, alors $M \in (D)$
4. Sinon, $M \notin (D)$

Exemple

Le point $D(4, -3, 2)$ appartient-il à la droite $(AB)$ où $A(2, 1, 3)$ et $B(1, 1, -2)$ ?

$\overrightarrow{AB}(-1, 0, -5)$, donc $(AB): \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 \\ z = 3 - 5t \end{cases}$

Pour $D(4, -3, 2)$ : $y = 1 \neq -3$.

Donc $D \notin (AB)$.

Orthogonalité de deux droites

Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ deux droites de l'espace dirigées respectivement par $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$. $(D_1)$ et $(D_2)$ sont perpendiculaires si et seulement si : $$\boxed{\vec{u_1}.\vec{u_2} = 0}$$ Remarque : Deux droites peuvent être perpendiculaires sans être sécantes (droites non coplanaires).

Exemple

Montrer que $(D_1)$ et $(D_2)$ sont perpendiculaires :
- $(D_1)$ dirigée par $\vec{u}(1, 2, 3)$
- $(D_2): \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 - 2t \\ z = 5 \end{cases}$

Le vecteur directeur de $(D_2)$ est $\vec{v}(4, -2, 0)$.

$\vec{u}.\vec{v} = 1 \times 4 + 2 \times (-2) + 3 \times 0 = 4 - 4 + 0 = 0$

Donc $(D_1) \perp (D_2)$.

Application

Montrer que $(D_1) \perp (D_2)$ sachant que :
- $(D_1)$ est définie par $x - 2 = \frac{y+1}{2} = \frac{5-z}{2}$
- $(D_2): \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 5 - 3t \\ z = -2 - 2t \end{cases}$