Exercices corrigés : Définition et propriétés du produit vectoriel

Exercice 1

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et l'angle $(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{6}$.
1. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
2. Calculer $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$.

Corrigé

1. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

• $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\frac{\pi}{6} = 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$
• Donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6\sqrt{3}$.

2. Calculer $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$.

• $$\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \sin\frac{\pi}{6} = 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 6$$
• Donc $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = 6$.

Exercice 2

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de l'espace. Démontrer en utilisant les propriétés du produit vectoriel que :$$\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OA}$$

Indication

Exprimer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ en fonction des vecteurs positions $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$.

Corrigé

Démontrer que $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OA}$.

• On a $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$
• On développe $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \wedge (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA})$
• Par distributivité $= \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} \wedge (-\overrightarrow{OA}) - \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} \wedge (-\overrightarrow{OA})$
• Or $\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OA} = \vec{0}$ et $\overrightarrow{OB} \wedge (-\overrightarrow{OA}) = -\overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB}$
• De plus $-\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OA}$
• Donc $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OA}$.

Exercice 3 : Application directe — Norme du produit vectoriel

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 5$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 5$. Calculer $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$.

Indication

Utiliser $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}$ puis $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.

Corrigé

Calculer $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$.

• On pose $\theta$ une mesure de l'angle $(\vec{u}, \vec{v})$
• On calcule $\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} = \dfrac{5}{2 \times 5} = \dfrac{1}{2}$
• D'où $|\sin\theta| = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• $$\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot |\sin\theta| = 2 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$
• Donc $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = 5\sqrt{3}$.