Forme analytique du produit vectoriel

Calcul du produit vectoriel en coordonnées

Dans un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, le produit vectoriel admet une expression analytique élégante utilisant les déterminants $2 \times 2$. Cette formule est l'outil principal pour tous les calculs pratiques.

Formule analytique du produit vectoriel

Soient $\vec{u}(a, b, c)$ et $\vec{v}(a', b', c')$ deux vecteurs. Alors :$$\boxed{\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} b & b' \\ c & c' \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix} a & a' \\ c & c' \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix} a & a' \\ b & b' \end{vmatrix}\vec{k}}$$C'est-à-dire :$$\boxed{\vec{u} \wedge \vec{v} = (bc' - b'c)\,\vec{i} - (ac' - a'c)\,\vec{j} + (ab' - a'b)\,\vec{k}}$$

Mémotech : on peut visualiser la formule avec le déterminant symbolique :$$\boxed{\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & b & c \\ a' & b' & c' \end{vmatrix}}$$

Exemple de calcul analytique

Calculons $\vec{u} \wedge \vec{v}$ avec $\vec{u}(0, 1, -2)$ et $\vec{v}(-3, 1, 2)$ :$$\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ -2 & 2 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\vec{k}$$$$= (1 \times 2 - 1 \times (-2))\vec{i} - (0 \times 2 - (-3)\times(-2))\vec{j} + (0 \times 1 - (-3) \times 1)\vec{k}$$$$= 4\vec{i} + 6\vec{j} + 3\vec{k}$$Donc $\vec{u} \wedge \vec{v} = (4, 6, 3)$.

Visualisation interactive : déplacer u et v

Utilisez les curseurs pour modifier les coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$ (violet) est recalculé dynamiquement et reste toujours orthogonal au plan du parallélogramme. Par défaut, le plan $(\vec{u}, \vec{v})$ est légèrement incliné (≈ 15°) par rapport à $(O, \vec{i}, \vec{j})$ pour mieux voir la perpendicularité. Testez par exemple $\vec{u}(0, 1, -2)$ et $\vec{v}(-3, 1, 2)$ pour retrouver $\vec{u} \wedge \vec{v} = (4, 6, 3)$.

Méthode : calculer un produit vectoriel

Étape 1 : Identifier les coordonnées $\vec{u}(a,b,c)$ et $\vec{v}(a',b',c')$.

Étape 2 : Calculer les trois composantes par développement selon la première ligne du déterminant symbolique :
- Composante $x$ : $bc' - b'c$ (déterminant des colonnes $j$ et $k$)
- Composante $y$ : $-(ac' - a'c)$ (signe $-$, déterminant des colonnes $i$ et $k$)
- Composante $z$ : $ab' - a'b$ (déterminant des colonnes $i$ et $j$)

Étape 3 : Écrire $\vec{u} \wedge \vec{v} = (x, y, z)$ et vérifier si possible l'orthogonalité : $\vec{u} \cdot (\vec{u} \wedge \vec{v}) = 0$ et $\vec{v} \cdot (\vec{u} \wedge \vec{v}) = 0$.

Exercice d'application

Calculer le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$ avec $\vec{u}(-1, 3, 0)$ et $\vec{v}(2, -6, 1)$.