Exercices corrigés : Introduction et Bornes d'une suite

Exercice 1

Soit la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$. Montrer que la suite $(u_n)$ est bornée.

Indication

Utilisez le fait que $-1 \le (-1)^n \le 1$ pour tout $n \ge 1$.

Corrigé

Montrer que la suite $(u_n)$ est bornée.

• On commence par remarquer que pour tout $n \ge 1$, $-1 \le (-1)^n \le 1$.
• En divisant par $n$ (qui est strictement positif) on obtient : $$-\frac{1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}$$
• Puisque $n \ge 1$, on a $0 < \frac{1}{n} \le 1$ and $-1 \le -\frac{1}{n} < 0$.
• On en déduit l'encadrement : $$-1 \le \frac{(-1)^n}{n} \le 1$$
• En ajoutant 2 à tous les membres on obtient : $$2 - 1 \le 2 + \frac{(-1)^n}{n} \le 2 + 1$$ $$1 \le u_n \le 3$$
• Donc : La suite $(u_n)$ est bornée car pour tout $n \ge 1$, $1 \le u_n \le 3$.

Exercice 2

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n < 6$.

Indication

Suivez scrupuleusement les étapes classiques du raisonnement par récurrence.

Corrigé

Démontrer par récurrence que $u_n < 6$.

• Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 2$. Comme $2 < 6$, la propriété est vraie au rang $0$.
• Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $u_n < 6$. Montrons que $u_{n+1} < 6$.
• On construit le terme suivant : Par hypothèse de récurrence : $u_n < 6$ En multipliant par $\frac{1}{2}$ : $\frac{1}{2}u_n < 3$
• En ajoutant 3 des deux côtés : $$\frac{1}{2}u_n + 3 < 3 + 3$$ $$u_{n+1} < 6$$
• Conclusion : La propriété est héréditaire. Par le principe de récurrence, on conclut que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n < 6$.

Exercice 3

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$. Montrer que la suite $(u_n)$ est minorée par $0$ et majorée par $3$.

Indication

Pour la majoration, étudiez le signe de la différence $u_n - 3$.

Corrigé

1. Montrer la minoration par $0$

• On observe que : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, le numérateur $3n+1 \ge 1 > 0$ et le dénominateur $n+2 \ge 2 > 0$.
• Donc : Le rapport $u_n = \frac{3n+1}{n+2}$ est strictement positif pour tout $n$. La suite est donc bien minorée par $0$.

2. Montrer la majoration par $3$

• On calcule la différence : Calculons $u_n - 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
• $$u_n - 3 = \frac{3n+1}{n+2} - 3 = \frac{3n+1 - 3(n+2)}{n+2} = \frac{3n+1 - 3n - 6}{n+2} = \frac{-5}{n+2}$$
• On étudie le signe : Comme $-5 < 0$ et $n+2 > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $\frac{-5}{n+2} < 0$.
• Donc $u_n - 3 < 0$, ce qui signifie que $u_n < 3$ pour tout $n$. La suite $(u_n)$ est donc majorée par $3$.