3 exercices sur « Monotonie d'une suite », partie 2 du cours « Suites numériques » — 2ème Bac PC & SVT.
Exercice 1
Étudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $u_n = \frac{3^n}{n}$.
Indication
Puisque tous les termes sont strictement positifs pour $n \ge 1$, étudiez le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et comparez-le à $1$.
Corrigé
Calculer et étudier le rapport
On vérifie le signe : Pour tout $n \ge 1$, $3^n > 0$ et $n > 0$, donc $u_n > 0$.
Calculons le rapport : $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{n+1}}{\frac{3^n}{n}} = \frac{3^{n+1}}{n+1} \times \frac{n}{3^n} = \frac{3 \cdot 3^n \cdot n}{(n+1)3^n} = \frac{3n}{n+1}$$
On compare le rapport à 1 : Étudions la différence de ce rapport avec 1 : $$\frac{u_{n+1}}{u_n} - 1 = \frac{3n}{n+1} - 1 = \frac{3n - (n+1)}{n+1} = \frac{2n - 1}{n+1}$$
On étudie le signe de la différence : Puisque $n \ge 1$, on a $2n - 1 \ge 1 > 0$ et $n+1 \ge 2 > 0$.
Ainsi, pour tout $n \ge 1$ : $$\frac{u_{n+1}}{u_n} - 1 > 0 \implies \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$$
Conclusion : Le rapport étant strictement supérieur à 1, la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ est strictement croissante.
Exercice 2
Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = n^2 - 6n + 5$. À partir de quel rang $n$ cette suite est-elle strictement croissante ?
Indication
Calculez la différence $u_{n+1} - u_n$ et cherchez pour quelles valeurs de $n$ elle est strictement positive.
Corrigé
Résoudre $u_{n+1} - u_n > 0$
On exprime la différence : Calculons la différence $u_{n+1} - u_n$ :
On pose l'inégalité : Cherchons quand cette différence est strictement positive : $$2n - 5 > 0 \iff 2n > 5 \iff n > 2,5$$
Puisque $n$ est un entier naturel la condition $n > 2,5$ est vérifiée pour tout entier $n \ge 3$.
Donc : La suite $(u_n)$ est strictement croissante à partir du rang $n = 3$.
Exercice 3
Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n$. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante en sachant que $u_n \ge 3$ pour tout $n$.
Indication
Calculez $u_{n+1} - u_n$ et factorisez l'expression obtenue.
Corrigé
Factoriser et étudier le signe
On calcule la différence : Calculons $u_{n+1} - u_n$ :