Cardinal d'un ensemble fini et principe multiplicatif

Introduction au dénombrement

Le dénombrement consiste à compter méthodiquement le nombre d'éléments d'un ensemble fini ou le nombre de dispositions possibles satisfaisant à des critères précis. Il est le socle indispensable du calcul des probabilités.

1. Définition : Cardinal d'un ensemble fini

On considère un ensemble fini $E$ de $n$ éléments distincts : $E = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$.

On appelle cardinal de $E$ son nombre d'éléments, et on écrit :
$$\boxed{\text{card}(E) = n}$$

Exemple de cardinal

On considère l'ensemble $E = \{a, b, c, d\}$.

L'ensemble $E$ possède 4 éléments distincts, d'où :
$$\text{card}(E) = 4$$

2. Cas particulier : L'ensemble vide

Le nombre d'éléments de l'ensemble vide $\emptyset$ est $0$, et on écrit :
$$\boxed{\text{card}(\emptyset) = 0}$$

3. Propriété fondamentale du cardinal (Union et Intersection)

Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis.

On a la relation générale :
$$\boxed{\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)}$$

Cas particulier (Ensembles disjoints) :
Si $A \cap B = \emptyset$, alors $\text{card}(A \cap B) = 0$, et on a :
$$\boxed{\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B)}$$

Exemples d'application de la propriété du cardinal

• Exemple 1 (Ensembles disjoints) :
Soient $A = \{a, b, c\}$ et $B = \{6, 7, 8, 9\}$.
$\text{card}(A) = 3$ et $\text{card}(B) = 4$. Comme $A \cap B = \emptyset$, on a :
$$\text{card}(A \cup B) = 3 + 4 = 7$$

• Exemple 2 (Ensembles avec intersection) :
Soient $A = \{a, b, c, d\}$ et $B = \{d, e, f\}$.
$\text{card}(A) = 4$, $\text{card}(B) = 3$ et $A \cap B = \{d\}$ donc $\text{card}(A \cap B) = 1$.
$$\text{card}(A \cup B) = 4 + 3 - 1 = 6$$

Principe fondamental du dénombrement (Principe multiplicatif)

Si une procédure peut être découpée en $k$ étapes successives indépendantes telles que :
• Il y a $n_1$ façons possibles de réaliser la 1ère étape,
• Il y a $n_2$ façons possibles de réaliser la 2ème étape,
• $\dots$
• Il y a $n_k$ façons possibles de réaliser la $k$-ème étape,

Alors la procédure globale peut être accomplie de :
$$\boxed{N = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k \text{ façons}}$$

Exemple : Choix de costumes

Une personne possède 3 chemises, 2 pantalons et 3 paires de chaussures.

Le nombre de costumes que cette personne peut porter est :
$$N = 3 \times 2 \times 3 = 18$$

Expérience aléatoire et Univers Ω

• Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans pouvoir prédire avec certitude lequel sera réalisé.
• L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire est appelé l'univers et se note généralement $\Omega$.

Exemples d'univers et Arbre des choix

1. Lancer d'un dé cubique non truqué :
Les faces sont numérotées de 1 à 6. L'univers est :
$$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \quad \text{avec} \quad \text{card}(\Omega) = 6$$

2. Lancer d'une pièce de monnaie 2 fois successives :
On obtient l'arbre des possibilités suivant :
$$\Omega = \{PP, PF, FP, FF\} \quad \text{avec} \quad \text{card}(\Omega) = 2 \times 2 = 4$$

Application : Menus et Cadenas à code

1. Dans un restaurant, on propose au choix 3 entrées, 4 plats et 3 desserts. Combien de menus complets (entrée + plat + dessert) peut-on composer ?
2. Un cadenas à combinaison comporte 4 molettes de 0 à 9. Combien de codes de 4 chiffres peut-on former ?