Exercices corrigés : Les nombres n!, Aₙᵖ et Cₙᵖ

Exercice 1

On veut former des nombres de 3 chiffres distincts choisis parmi $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
1. Combien de nombres de 3 chiffres distincts peut-on former ?
2. Combien de ces nombres sont pairs ?
3. De combien de façons peut-on choisir un sous-ensemble de 3 chiffres parmi ces 6 chiffres ?

Indication

1. Arrangement A₆³. 2) Dernier chiffre pair (2, 4 ou 6). 3) Combinaison C₆³.

Corrigé

1. Nombres de 3 chiffres distincts

• Arrangement : L'ordre compte et les chiffres sont distincts :
• $$\begin{aligned} N_1 &= A_6^3 \\ &= 6 \times 5 \times 4 = 120 \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{N_1 = 120}$$

2. Nombres pairs de 3 chiffres distincts

• Choix du dernier chiffre : Le dernier chiffre est pair $\{2, 4, 6\}$ (3 choix), puis on choisit les 2 premiers chiffres parmi les 5 restants ($A_5^2$ choix) :
• $$\begin{aligned} N_2 &= 3 \times A_5^2 \\ &= 3 \times (5 \times 4) = 3 \times 20 = 60 \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{N_2 = 60}$$

3. Choix d'un sous-ensemble de 3 chiffres

• Combinaison : Pour un sous-ensemble (partie), l'ordre ne compte pas :
• $$\begin{aligned} N_3 &= C_6^3 \\ &= \frac{6 \times 5 \times 4}{6} = 20 \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{N_3 = 20}$$