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Exercices corrigés : Branches infinies d'une courbe

2 exercices sur « Branches infinies d'une courbe », partie 1 du cours « Étude des fonctions » — 2ème Bac Sciences Économiques.

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1}$. Déterminer toutes les asymptotes de la courbe $(C_f)$ au voisinage des bornes de son domaine.

Indication

Effectuez une division euclidienne du numérateur par le dénominateur ou calculez $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)]$.

Corrigé

Déterminer les asymptotes de la courbe $(C_f)$

  • En $1$ (valeur interdite) : Calculons les limites en $1$ :
  • $$\lim_{x \to 1} (x^2 + x - 1) = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 1} (x - 1) = 0$$ $$\text{Donc } \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$$
  • Par conséquent : La droite d'équation $x = 1$ est une asymptote verticale à la courbe $(C_f)$.
  • En $\pm\infty$ : Cherchons une écriture simplifiée de $f(x)$ pour faire apparaître l'asymptote oblique. Effectuons la division euclidienne ou écrivons :
  • $$f(x) = \frac{x^2 - x + 2x - 2 + 1}{x - 1} = \frac{x(x - 1) + 2(x - 1) + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{1}{x - 1}$$
  • Calculons ensuite la limite de la différence : Pour tout $x \neq 1$, $f(x) - (x + 2) = \frac{1}{x - 1}$.
  • $$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x + 2)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x - 1} = 0$$
  • Conclusion : La droite d'équation $y = x + 2$ est une asymptote oblique à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$.

Exercice 2

Soit la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x + 2\sqrt{x}$. Étudier la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.

Indication

Calculez $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, puis $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, et enfin $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax]$.

Corrigé

Déterminer la branche infinie en $+\infty$

  • Étape 1 : Limite de la fonction : Calculons la limite de $f$ en $+\infty$ :
  • $$\lim_{x \to +\infty} (x + 2\sqrt{x}) = +\infty$$
  • Étape 2 : Limite du rapport : Calculons $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ :
  • $$\text{On a : } \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 2\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{\sqrt{x}}\right) = 1 \quad \text{donc} \quad a = 1$$
  • Étape 3 : Limite de $f(x) - ax$ : Calculons la limite de $f(x) - 1x$ en $+\infty$ :
  • $$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} 2\sqrt{x} = +\infty$$
  • Conclusion : La courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = x$ au voisinage de $+\infty$.

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