Exercices corrigés : Concavité d'une courbe et points d'inflexion
4 exercices sur « Concavité d'une courbe et points d'inflexion », partie 2 du cours « Étude des fonctions » — 2ème Bac Sciences Économiques.
Exercice 1
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$. Étudier la concavité de la courbe $(C_f)$ et déterminer ses points d'inflexion.
Indication
Dérivez deux fois la fonction, factorisez la dérivée seconde et étudiez le signe de son numérateur.
Corrigé
1. Calcul de la dérivée seconde $f''(x)$
Dérivées successives : La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ comme quotient de polynômes dont le dénominateur ne s'annule jamais :
Signe de la dérivée seconde : Pour tout réel $x$, $(x^2 + 1)^3 > 0$, donc le signe de $f''(x)$ est exactement le même que celui de son numérateur $2x(x^2 - 3)$.
Résolution de $f''(x) = 0$ : On cherche les racines sur $\mathbb{R}$ :
$$f''(x) = 0 \iff 2x(x^2 - 3) = 0 \iff 2x = 0 \text{ ou } x^2 - 3 = 0 \iff x = 0 \text{ ou } x = \pm\sqrt{3}$$
Tableau de signe et concavité : Pour déterminer le signe du produit, nous dressons le tableau avec le signe de chaque facteur ($2x$ et $x^2-3$), de $f''(x)$ et la concavité de $(C_f)$ :
Conclusion : La dérivée seconde s'annule et change de signe aux abscisses $-\sqrt{3}$, $0$ et $\sqrt{3}$. On obtient les points d'inflexion : $A(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$, $O(0, 0)$ et $B(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$.
Exercice 2
Soit la fonction $g$ définie sur $[0, 2\pi]$ par $g(x) = x + 2\sin(x)$. Étudier la concavité de la courbe $(C_g)$ et déterminer ses éventuels points d'inflexion.
Indication
Dérivez deux fois pour trouver $g''(x)$ et étudiez le signe de la fonction sinus sur $[0, 2\pi]$.
Corrigé
1. Calcul de la dérivée seconde $g''(x)$
Dérivées successives : La fonction $g$ est deux fois dérivable sur $[0, 2\pi]$ :
Signe de la dérivée seconde : Puisque le facteur $-2$ est négatif, le signe de $g''(x) = -2\sin(x)$ est l'opposé de celui de la fonction $\sin(x)$ sur $[0, 2\pi]$.
Résolution de $g''(x) = 0$ : On cherche les racines sur l'intervalle $[0, 2\pi]$ :
$$g''(x) = 0 \iff -2\sin(x) = 0 \iff \sin(x) = 0 \iff x = 0 \text{ ou } x = \pi \text{ ou } x = 2\pi$$
Tableau de signe et concavité : Nous dressons le tableau de concavité avec le signe de chaque facteur, le signe de $g''(x)$ et la concavité résultante :
Conclusion : La dérivée seconde s'annule et change de signe en $x = \pi$. L'ordonnée est $g(\pi) = \pi$. Le point $I(\pi, \pi)$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $(C_g)$.
Exercice 3
Soit la fonction $h$ définie sur $D_h = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $h(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$. Étudier la concavité de la courbe $(C_h)$ et justifier qu'elle n'admet aucun point d'inflexion.
Indication
Calculez la dérivée seconde et étudiez le signe du quotient. Attention, le point d'abscisse $x=2$ n'appartient pas au domaine.
Corrigé
1. Calcul de la dérivée seconde $h''(x)$
Dérivées successives : La fonction $h$ est deux fois dérivable sur son domaine de définition $D_h$ :
Signe de la dérivée seconde : Puisque le numérateur est la constante positive $2 > 0$, le signe de $h''(x)$ dépend uniquement de son dénominateur $(x - 2)^3$, qui a le même signe que $(x - 2)$.
Résolution de $h''(x) = 0$ : On cherche les points d'annulation de la dérivée seconde sur $D_h$ :
Tableau de signe et concavité : Nous dressons le tableau de concavité avec le signe du dénominateur $(x-2)^3$, le signe de $h''(x)$ et la concavité résultante (avec double barre pour la valeur interdite 2) :
Conclusion : La dérivée seconde $h''$ ne s'annule jamais sur $D_h$. Bien qu'il y ait un changement de concavité de part et d'autre de $x = 2$, ce point n'appartient pas au domaine de la fonction. La courbe $(C_h)$ n'admet aucun point d'inflexion.
Exercice 4
Soit la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = \sqrt{x^2 + 1}$. Étudier la concavité de la courbe $(C_k)$ et déterminer ses éventuels points d'inflexion.
Indication
Utilisez les formules de dérivation $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ et de quotient $(\frac{u}{v})'$ pour trouver $k''(x)$.
Corrigé
1. Calcul de la dérivée seconde $k''(x)$
Dérivées successives : La fonction $k$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de fonctions dérivables :
Signe de la dérivée seconde : Le numérateur est la constante positive $1 > 0$ et le dénominateur $(x^2+1)\sqrt{x^2+1}$ est le produit de deux facteurs strictement positifs pour tout réel $x$.
Résolution de $k''(x) = 0$ : On cherche les points d'annulation de la dérivée seconde :
Tableau de signe et concavité : Nous dressons le tableau de concavité comportant le signe du dénominateur, le signe de la dérivée seconde $k''(x)$ et la concavité résultante :
Conclusion : La dérivée seconde $k''$ ne s'annule jamais et reste strictement positive pour tout réel $x$. La courbe $(C_k)$ est donc strictement convexe sur $\mathbb{R}$ et n'admet aucun point d'inflexion.