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Exercices corrigés : 1. Définition et Propriétés

3 exercices sur « 1. Définition et Propriétés », partie 1 du cours « Fonctions Exponentielles » — 2ème Bac Sciences Économiques.

Exercice 1 : Recherche avancée de domaines de définition (6 cas)

Déterminer le domaine de définition des 6 fonctions suivantes :

  1. $f_1(x) = \dfrac{3x-1}{\sqrt{e^{2x}-1}}$
  2. $f_2(x) = \ln\left(\dfrac{e^x-2}{e^x+1}\right)$
  3. $f_3(x) = \sqrt{\ln(e^x - 4)}$
  1. $f_4(x) = \dfrac{1}{e^{2x} - 3e^x + 2}$
  2. $f_5(x) = \sqrt{\dfrac{e^x - 1}{3 - e^x}}$
  3. $f_6(x) = \ln(e^{2x} - 4e^x + 3)$

Corrigé

1. Domaine de $f_1(x) = \dfrac{3x-1}{\sqrt{e^{2x}-1}}$

  • Étape 1 : Définition formelle et condition d'existence : Le dénominateur sous la racine doit être strictement positif : $$\begin{aligned} D_1 &= \left\{x \in \mathbb{R} \ / \ e^{2x} - 1 > 0\right\} \\ &= \left\{x \in \mathbb{R} \ / \ e^{2x} > 1\right\} \\ &= \left\{x \in \mathbb{R} \ / \ 2x > \ln(1) = 0\right\} \\ &= \left\{x \in \mathbb{R} \ / \ x > 0\right\} \end{aligned}$$
  • Conclusion : Le domaine de définition de $f_1$ est : $$\boxed{D_1 = ]0, +\infty[}$$

2. Domaine de $f_2(x) = \ln\left(\dfrac{e^x-2}{e^x+1}\right)$

  • Étape 1 : Définition formelle et condition d'existence : L'argument du logarithme doit être strictement positif : $$D_2 = \left\{x \in \mathbb{R} \ / \ \dfrac{e^x-2}{e^x+1} > 0\right\}$$
  • Étude du signe du quotient $\dfrac{e^x-2}{e^x+1}$ : Étudions les annulations du numérateur $e^x - 2 = 0 \iff x = \ln(2)$ et la positivité stricte du dénominateur $e^x + 1 > 0$ :
  • Conclusion : Le domaine de définition de $f_2$ est : $$\boxed{D_2 = ]\ln(2), +\infty[}$$

3. Domaine de $f_3(x) = \sqrt{\ln(e^x - 4)}$

  • Étape 1 : Définition formelle et conditions d'existence : L'argument du logarithme doit être strictement positif et la quantité sous la racine doit être positive ou nulle : $$D_3 = \left\{x \in \mathbb{R} \ / \ e^x - 4 > 0 \quad\text{et}\quad \ln(e^x - 4) \ge 0\right\}$$
  • Étape 2 : Résolution des inégalités équivalentes : Par la croissance de la fonction exponentielle : $$\begin{aligned} D_3 &= \left\{x \in \mathbb{R} \ / \ e^x - 4 > 0 \quad\text{et}\quad e^x - 4 \ge e^0 = 1\right\} \\ &= \left\{x \in \mathbb{R} \ / \ e^x > 4 \quad\text{et}\quad e^x \ge 5\right\} \\ &= \left\{x \in \mathbb{R} \ / \ x > \ln(4) \quad\text{et}\quad x \ge \ln(5)\right\} \end{aligned}$$ Puisque $\ln(4) < \ln(5)$, l'inégalité $x \ge \ln(5)$ implique $x > \ln(4)$.
  • Conclusion : Le domaine de définition de $f_3$ est : $$\boxed{D_3 = [\ln(5), +\infty[}$$

4. Domaine de $f_4(x) = \dfrac{1}{e^{2x} - 3e^x + 2}$

  • Étape 1 : Définition formelle et condition d'existence : Le dénominateur doit être non nul : $$D_4 = \left\{x \in \mathbb{R} \ / \ e^{2x} - 3e^x + 2 \neq 0\right\}$$
  • Étape 2 : Factorisation et exclusion des valeurs interdites : En posant $X = e^x > 0$ : $$\begin{aligned} X^2 - 3X + 2 = 0 &\iff (X-1)(X-2) = 0 \\ &\iff X = 1 \text{ ou } X = 2 \\ &\iff e^x = 1 \text{ ou } e^x = 2 \\ &\iff x = 0 \text{ ou } x = \ln(2) \end{aligned}$$ Les deux valeurs interdites sont donc $0$ et $\ln(2)$.
  • Conclusion : Le domaine de définition de $f_4$ est : $$\boxed{D_4 = \mathbb{R} \setminus \{0, \ln(2)\} = ]-\infty, 0[ \cup ]0, \ln 2[ \cup ]\ln 2, +\infty[}$$

5. Domaine de $f_5(x) = \sqrt{\dfrac{e^x - 1}{3 - e^x}}$

  • Étape 1 : Définition formelle et condition d'existence : Le dénominateur ne doit pas s'annuler et le quotient sous la racine doit être positif ou nul : $$D_5 = \left\{x \in \mathbb{R} \ / \ 3 - e^x \neq 0 \quad\text{et}\quad \dfrac{e^x - 1}{3 - e^x} \ge 0\right\}$$
  • Étude du signe du quotient $\dfrac{e^x-1}{3-e^x}$ : Étudions la valeur d'annulation $x = 0$ et la valeur interdite $x = \ln(3)$ dans un tableau de signes :
  • Conclusion : Le domaine de définition de $f_5$ est : $$\boxed{D_5 = [0, \ln(3)[}$$

6. Domaine de $f_6(x) = \ln(e^{2x} - 4e^x + 3)$

  • Étape 1 : Définition formelle et condition d'existence : L'argument du logarithme doit être strictement positif : $$D_6 = \left\{x \in \mathbb{R} \ / \ e^{2x} - 4e^x + 3 > 0\right\}$$
  • Étude du signe du produit $(e^x-1)(e^x-3)$ : Les racines du trinôme sont $x = 0$ et $x = \ln(3)$. Dressons le tableau de signes :
  • Conclusion : Le domaine de définition de $f_6$ est : $$\boxed{D_6 = ]-\infty, 0[ \cup ]\ln(3), +\infty[}$$

Exercice 2 : Simplifications complexes et identités exponentielles (6 cas)

Simplifier les 6 expressions suivantes :

  1. $A(x) = \dfrac{e^{3x} + e^{-3x}}{e^x + e^{-x}}$
  2. $B(x) = (e^x + 2e^{-x})^2 - (e^x - 2e^{-x})^2$
  3. $C(x) = \dfrac{e^{4x} - 1}{e^{2x} + 1}$
  1. $D(x) = \dfrac{e^{2x} - 3e^x + 2}{e^x - 1}$
  2. $E(x) = \sqrt{e^{4x} + 2 + e^{-4x}}$
  3. $F(x) = \dfrac{1}{1 + e^x} + \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$

Corrigé

1. Simplifier $A(x) = \dfrac{e^{3x} + e^{-3x}}{e^x + e^{-x}}$

  • Simplification alignée : On utilise l'identité $a^3+b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ avec $a = e^x$ et $b = e^{-x}$ : $$\begin{aligned} A(x) &= \dfrac{(e^x + e^{-x})((e^x)^2 - e^x e^{-x} + (e^{-x})^2)}{e^x + e^{-x}} \\ &= (e^x)^2 - 1 + (e^{-x})^2 \\ &= e^{2x} - 1 + e^{-2x} \end{aligned}$$
  • Conclusion $$\boxed{A(x) = e^{2x} - 1 + e^{-2x}}$$

2. Simplifier $B(x) = (e^x + 2e^{-x})^2 - (e^x - 2e^{-x})^2$

  • Simplification alignée $$\begin{aligned} B(x) &= (e^{2x} + 4 + 4e^{-2x}) - (e^{2x} - 4 + 4e^{-2x}) \\ &= 4 - (-4) \\ &= 8 \end{aligned}$$
  • Conclusion $$\boxed{B(x) = 8}$$

3. Simplifier $C(x) = \dfrac{e^{4x} - 1}{e^{2x} + 1}$

  • Simplification alignée $$\begin{aligned} C(x) &= \dfrac{(e^{2x} - 1)(e^{2x} + 1)}{e^{2x} + 1} \\ &= e^{2x} - 1 \end{aligned}$$
  • Conclusion $$\boxed{C(x) = e^{2x} - 1}$$

4. Simplifier $D(x) = \dfrac{e^{2x} - 3e^x + 2}{e^x - 1}$

  • Simplification alignée : En factorisant le trinôme du numérateur $(e^x-1)(e^x-2)$ : $$\begin{aligned} D(x) &= \dfrac{(e^x - 1)(e^x - 2)}{e^x - 1} \\ &= e^x - 2 \end{aligned}$$
  • Conclusion $$\boxed{D(x) = e^x - 2}$$

5. Simplifier $E(x) = \sqrt{e^{4x} + 2 + e^{-4x}}$

  • Simplification alignée : Puisque $(e^{2x} + e^{-2x})^2 = e^{4x} + 2 + e^{-4x}$ et que $e^{2x} + e^{-2x} > 0$ : $$\begin{aligned} E(x) &= \sqrt{(e^{2x} + e^{-2x})^2} \\ &= e^{2x} + e^{-2x} \end{aligned}$$
  • Conclusion $$\boxed{E(x) = e^{2x} + e^{-2x}}$$

6. Simplifier $F(x) = \dfrac{1}{1 + e^x} + \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$

  • Simplification alignée : Transformons le deuxième terme en multipliant numérateur et dénominateur par $e^x$ : $$\begin{aligned} F(x) &= \dfrac{1}{1 + e^x} + \dfrac{e^x}{e^x + 1} \\ &= \dfrac{1 + e^x}{1 + e^x} \\ &= 1 \end{aligned}$$
  • Conclusion $$\boxed{F(x) = 1}$$

Exercice 3 : Équations et Inéquations exponentielles complexes (6 cas)

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

  1. $e^{3x} - 2e^{2x} - e^x + 2 = 0$
  2. $e^x - 5\sqrt{e^x} + 6 = 0$
  3. $\dfrac{e^x - 3}{e^x + 1} = 2$
  1. $e^{2x+1} - 3e^{x+1} + 2e = 0$
  2. $\dfrac{e^x - 2}{e^x - 1} \ge 0$
  3. $e^{x} + e^{-x} \le \dfrac{5}{2}$

Corrigé

1. Résolution de $e^{3x} - 2e^{2x} - e^x + 2 = 0$

  • Résolution dans $\mathbb{R}$ : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, regroupons les termes par factorisation partielle : $$\begin{aligned} e^{3x} - 2e^{2x} - e^x + 2 = 0 &\iff e^{2x}(e^x - 2) - (e^x - 2) = 0 \\ &\iff (e^{2x} - 1)(e^x - 2) = 0 \\ &\iff e^{2x} = 1 \text{ ou } e^x = 2 \\ &\iff 2x = 0 \text{ ou } x = \ln(2) \\ &\iff x = 0 \text{ ou } x = \ln(2) \end{aligned}$$
  • Conclusion : L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est : $$\boxed{S = \{0, \ln(2)\}}$$

2. Résolution de $e^x - 5\sqrt{e^x} + 6 = 0$

  • Résolution dans $\mathbb{R}$ : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, posons $t = \sqrt{e^x} = e^{x/2} > 0$. L'équation devient $t^2 - 5t + 6 = 0$, dont les racines sont $t_1 = 2$ et $t_2 = 3$. Revenons à $x$ : $$\begin{aligned} e^{x/2} = 2 &\iff \frac{x}{2} = \ln(2) \iff x = 2\ln(2) = \ln(4) \\ e^{x/2} = 3 &\iff \frac{x}{2} = \ln(3) \iff x = 2\ln(3) = \ln(9) \end{aligned}$$
  • Conclusion : L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est : $$\boxed{S = \{2\ln(2), 2\ln(3)\}}$$

3. Résolution de $\dfrac{e^x - 3}{e^x + 1} = 2$

  • Résolution dans $\mathbb{R}$ : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x + 1 > 0$. $$\begin{aligned} \dfrac{e^x - 3}{e^x + 1} = 2 &\iff e^x - 3 = 2(e^x + 1) \\ &\iff e^x - 3 = 2e^x + 2 \\ &\iff -e^x = 5 \iff e^x = -5 \end{aligned}$$ Or $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $e^x = -5$ n'a aucune solution.
  • Conclusion : L'équation n'admet aucune solution dans $\mathbb{R}$ : $$\boxed{S = \emptyset}$$

4. Résolution de $e^{2x+1} - 3e^{x+1} + 2e = 0$

  • Résolution dans $\mathbb{R}$ : En factorisant par $e > 0$ : $$\begin{aligned} e(e^{2x} - 3e^x + 2) = 0 &\iff e^{2x} - 3e^x + 2 = 0 \\ &\iff (e^x - 1)(e^x - 2) = 0 \\ &\iff e^x = 1 \text{ ou } e^x = 2 \\ &\iff x = 0 \text{ ou } x = \ln(2) \end{aligned}$$
  • Conclusion : L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est : $$\boxed{S = \{0, \ln(2)\}}$$

5. Résolution de $\dfrac{e^x - 2}{e^x - 1} \ge 0$

  • 1. Domaine de validité $D_I$ : Le dénominateur ne doit pas s'annuler : $$e^x - 1 \neq 0 \iff e^x \neq 1 \iff x \neq 0$$ $$D_I = \mathbb{R} \setminus \{0\} = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$$
  • 2. Étude du signe du quotient $\dfrac{e^x-2}{e^x-1}$ : Étudions les annulations et la valeur interdite $x = 0$ dans un tableau de signes :
  • 3. Conclusion : L'ensemble des solutions de l'inéquation est : $$\boxed{S = ]-\infty, 0[ \cup [\ln(2), +\infty[}$$

6. Résolution de $e^x + e^{-x} \le \dfrac{5}{2}$

  • Étude du signe du produit $(2e^x-1)(e^x-2)$ : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, en multipliant par $2e^x > 0$ : $$e^x + \dfrac{1}{e^x} \le \dfrac{5}{2} \iff 2e^{2x} - 5e^x + 2 \le 0 \iff (2e^x - 1)(e^x - 2) \le 0$$ Dressons le tableau de signes :
  • Conclusion : L'ensemble des solutions de l'inéquation dans $\mathbb{R}$ est : $$\boxed{S = [-\ln(2), \ln(2)]}$$

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