2. Limites Usuelles

Limites usuelles

Au voisinage de $+\infty$, de $-\infty$ et au point $0$, les limites fondamentales de la fonction exponentielle népérienne s'énoncent comme suit :

1. Limites au voisinage de $+\infty$

• $$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$
• $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$$
• $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad (n \in \mathbb{N}^*)$$

1. Limites au voisinage de $-\infty$

• $$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$$
• $$\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$$
• $$\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \quad (n \in \mathbb{N}^*)$$

1. Limite remarquable en $0$ (Taux d'accroissement)

• $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$

Visualisation graphique interactive

Sélectionner l'une des trois fonctions pour afficher sa courbe, ses limites et ses points remarquables :

Méthodes fondamentales de calcul des limites exponentielles

Pour lever les Formes Indéterminées (FI) usuelles $\left(+\infty - \infty,\; 0 \times (-\infty),\; \frac{0}{0}\right)$, on suit la structure officielle de rédaction : Simplification $\to$ Résultat $\to$ Justification (car ...).

• Méthode 1 : Factorisation par $x^n$ en $+\infty$
Lorsqu'une expression présente une FI $+\infty - \infty$ au voisinage de $+\infty$, on factorise par la puissance $x^n$ afin de se ramener à la limite usuelle $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$.

Exemple 1 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^3)$
FI : $(+\infty - \infty)$. On factorise par $x^3$ :
$$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} (e^x - x^3) &= \lim_{x \to +\infty} x^3 \left( \frac{e^x}{x^3} - 1 \right) = +\infty \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty \text{ et } \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3} = +\infty\right) \end{aligned}$$

• Méthode 2 : Développement au voisinage de $-\infty$
Lorsqu'un produit présente une FI $0 \times (-\infty)$ au voisinage de $-\infty$, on développe l'expression pour se ramener à la limite usuelle $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$.

Exemple 2 : Calculer $\lim_{x \to -\infty} (x^2 - 3x) e^x$
FI : $(+\infty \times 0)$. On développe l'expression :
$$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} (x^2 - 3x) e^x &= \lim_{x \to -\infty} (x^2 e^x - 3x e^x) = 0 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{x \to -\infty} x^2 e^x = 0 \text{ et } \lim_{x \to -\infty} x e^x = 0\right) \end{aligned}$$

• Méthode 3 : Changement de variable
Lorsque l'exponentielle contient une composée $e^{g(x)}$, on effectue la substitution $X = g(x)$ et on explicite le comportement de la nouvelle variable $X$.

Exemple 3 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} x (e^{1/x} - 1)$
FI : $(+\infty \times 0)$. On pose $X = \frac{1}{x}$. Quand $x \to +\infty$, $X \to 0^+$ :
$$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} x (e^{1/x} - 1) &= \lim_{X \to 0^+} \frac{e^X - 1}{X} = 1 \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{X \to 0^+} \frac{e^X - 1}{X} = 1\right) \end{aligned}$$

• Méthode 4 : Taux d'accroissement (FI $\frac{0}{0}$ en un point)
Lorsque $x \to 0$ donne une FI $\frac{0}{0}$, on se ramène aux limites remarquables du taux d'accroissement en $0$.

Exemple 4 : Calculer $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{2x}$
FI : $\left(\frac{0}{0}\right)$. On pose $t = 3x \iff x = \dfrac{t}{3}$. Quand $x \to 0$, $t \to 0$ :
$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{2x} &= \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{2 \times \dfrac{t}{3}} = \lim_{t \to 0} \frac{3}{2} \times \frac{e^t - 1}{t} = \frac{3}{2} \\ &\quad \left(\text{car } \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1\right) \end{aligned}$$

Application : Calcul de 18 limites fondamentales de l'exponentielle

Calculer les 18 limites fondamentales suivantes :

1. $\lim_{x \to -\infty} (x + 2)e^x$
2. $\lim_{x \to -\infty} (x^2 - x)e^x$
3. $\lim_{x \to +\infty} (e^x + e^{-x})$

1. $\lim_{x \to -\infty} (e^x + e^{-x})$
2. $\lim_{x \to +\infty} (e^{2x} + 2e^x + x)$
3. $\lim_{x \to -\infty} (4e^{2x} - 2e^x - 1)$

1. $\lim_{x \to +\infty} (x - 1)e^{-x}$
2. $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - e^{-x})$
3. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{2x}$

1. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{x}$
2. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - 3}{e^x + 3}$
3. $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{-x e^x}$

1. $\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{x+1}{x}}$
2. $\lim_{x \to +\infty} e^{x^2+1}$
3. $\lim_{x \to -\infty} e^{x^2+1}$

1. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 3}{e^x + 3}$
2. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin(x)} - 1}{x}$
3. $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\cos(x)} - e}{x}$