2. Équations et Inéquations Logarithmiques

Introduction

Grâce à la continuité et à la stricte croissance de la fonction $\ln$ sur $]0, +\infty[$, on établit les règles d'équivalence fondamentales pour résoudre les équations et inéquations logarithmiques.

Méthode générale de résolution

Pour résoudre une équation ou une inéquation logarithmique dans $\mathbb{R}$, on suit la démarche méthodique en 3 étapes indispensables :

• Étape 1 : Domaine d'étude ($D_E$)
On pose les conditions d'existence : toute expression située sous un logarithme doit être strictement positive.
$$\text{Pour } \ln(u(x)), \quad \text{on pose : } u(x) > 0$$
• Étape 2 : Résolution algébrique
On élimine les logarithmes à l'aide des équivalences fondamentales pour déterminer l'ensemble des candidats solutions $S_{\text{alg}}$.

• Étape 3 : Conclusion
On ne conserve que les solutions qui appartiennent au domaine d'étude $D_E$ :
$$\boxed{S = S_{\text{alg}} \cap D_E}$$

Propriété 1 : Égalité de deux logarithmes ln(x) = ln(y)

Pour tous réels $x > 0$ et $y > 0$ :
$$\boxed{\ln(x) = \ln(y) \iff x = y}$$

Exemple 1 : Équation du type ln(u(x)) = ln(v(x))

• Résolution de l'équation : $\ln(2x - 1) = \ln(x + 4)$
1. Domaine de validité $D_E$ :
$$\begin{aligned} 2x - 1 > 0 \iff x > \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad x + 4 > 0 \iff x > -4 \end{aligned}$$
$$D_E = \left]\frac{1}{2}, +\infty\right[ \cap ]-4, +\infty[ = \left]\frac{1}{2}, +\infty\right[$$
2. Résolution sur $D_E$ :
$$\begin{aligned} \ln(2x - 1) = \ln(x + 4) &\iff 2x - 1 = x + 4 \\ &\iff x = 5 \end{aligned}$$
3. Conclusion : Comme $5 \in D_E$, $\boxed{S = \{5\}}$.

Propriété 2 : Inégalité de deux logarithmes ln(x) > ln(y)

Pour tous réels $x > 0$ et $y > 0$ :
$$\boxed{\ln(x) > \ln(y) \iff x > y}$$
Note : La fonction $\ln$ conserve le sens de l'inégalité.

Exemple 2 : Inéquation du type ln(3x - 5) > ln(x + 1)

• Résolution de l'inéquation : $\ln(3x - 5) > \ln(x + 1)$
1. Domaine de validité $D_E$ :
$$\begin{aligned} 3x - 5 > 0 \iff x > \frac{5}{3} \quad \text{et} \quad x + 1 > 0 \iff x > -1 \end{aligned}$$
$$D_E = \left]\frac{5}{3}, +\infty\right[ \cap ]-1, +\infty[ = \left]\frac{5}{3}, +\infty\right[$$
2. Résolution sur $D_E$ :
$$\begin{aligned} \ln(3x - 5) > \ln(x + 1) &\iff 3x - 5 > x + 1 \\ &\iff 2x > 6 \iff x > 3 \end{aligned}$$
3. Conclusion : Comme $]3, +\infty[ \subset D_E$, $\boxed{S = ]3, +\infty[}$.

Propriété 3 : Signe strictement positif de ln(x)

Pour tout réel $x > 0$ :
$$\boxed{\ln(x) > 0 \iff x > 1}$$
Note : Le logarithme est strictement positif sur $\left]1, +\infty\right[$.

Exemple 3 : Inéquation du type ln(2x - 3) > 0

• Résolution de l'inéquation : $\ln(2x - 3) > 0$
1. Domaine de validité $D_E$ : $2x - 3 > 0 \iff x > \frac{3}{2} \implies D_E = \left]\frac{3}{2}, +\infty\right[$.
2. Résolution sur $D_E$ :
$$\begin{aligned} \ln(2x - 3) > 0 &\iff 2x - 3 > 1 \\ &\iff 2x > 4 \iff x > 2 \end{aligned}$$
3. Conclusion : Comme $]2, +\infty[ \subset D_E$, $\boxed{S = ]2, +\infty[}$.

Propriété 4 : Signe strictement négatif de ln(x)

Pour tout réel $x > 0$ :
$$\boxed{\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1}$$
Note : Le logarithme est strictement négatif sur $]0, 1[$.

Exemple 4 : Inéquation du type ln(4x - 7) < 0

• Résolution de l'inéquation : $\ln(4x - 7) < 0$
1. Domaine de validité $D_E$ : $4x - 7 > 0 \iff x > \frac{7}{4} \implies D_E = \left]\frac{7}{4}, +\infty\right[$.
2. Résolution sur $D_E$ :
$$\begin{aligned} \ln(4x - 7) < 0 &\iff 0 < 4x - 7 < 1 \\ &\iff 7 < 4x < 8 \iff \frac{7}{4} < x < 2 \end{aligned}$$
3. Conclusion : Comme $\left]\frac{7}{4}, 2\right[ \subset D_E$, $\boxed{S = \left]\frac{7}{4}, 2\right[}$.

Application

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les 8 équations et inéquations suivantes :
1. $\ln(3x - 2) = \ln(x + 6)$
2. $\ln(x^2 - 5) = \ln(4x)$
3. $\ln(2x + 1) \ge \ln(x + 4)$
4. $\ln(x^2 - 3x) < \ln(4)$
5. $\ln(5x - 9) > 0$
6. $\ln(x^2 - 3) \ge 0$
7. $\ln(2x + 3) < 0$
8. $\ln(x^2 - 4x + 4) < 0$