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Partie 1 sur 3 du cours « Fonctions Primitives » — 2ème Bac Sciences Économiques.
Dans les chapitres précédents, nous avons appris à calculer la dérivée d'une fonction donnée. Le problème inverse est tout aussi important en mathématiques : étant donné une fonction $f$, peut-on trouver une fonction $F$ dont la dérivée est $f$ ? C'est ce qu'on appelle la recherche d'une primitive.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On dit qu'une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ si :
1. $F$ est dérivable sur l'intervalle $I$.
2. Pour tout $x \in I$, on a : $F'(x) = f(x)$.
Soit $f(x) = 2x$. La fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = x^2$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$, car $F'(x) = 2x = f(x)$.
Remarquons que la fonction $G(x) = x^2 + 5$ est aussi une primitive de $f$ car $G'(x) = 2x$.
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur cet intervalle.
Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$.
Alors $f$ admet une infinité de primitives sur $I$.
Toute primitive $G$ de $f$ sur $I$ est de la forme :
$$\boxed{ G(x) = F(x) + c }$$
où $c$ est une constante réelle ($c \in \mathbb{R}$).
Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle $I$.
Soit $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$.
Il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ qui vérifie la condition initiale : $$\boxed{F(x_0) = y_0}$$
Soit $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$.
Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $F(1) = 4$.
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