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Partie 2 sur 3 du cours « Équations Différentielles » — 2ème Bac PC & SVT.
Dans cette partie, nous allons résoudre les équations différentielles de la forme $y' = ay + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels, et $a \neq 0$.
Soit $a$ un réel non nul. Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$\boxed{ y(x) = \alpha e^{ax} }$$
où $\alpha$ est une constante réelle arbitraire ($\alpha \in \mathbb{R}$).
Considérons l'équation différentielle $(E_1) : y' = 3y$.
Ici, nous avons $a = 3$.
D'après la propriété, les solutions de cette équation sont toutes les fonctions de la forme :
$$ y(x) = \alpha e^{3x} \quad (\alpha \in \mathbb{R}) $$
Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \neq 0$. Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$\boxed{ y(x) = \alpha e^{ax} - \frac{b}{a} }$$
où $\alpha$ est une constante réelle arbitraire ($\alpha \in \mathbb{R}$).
Résolvons l'équation différentielle $(E_2) : y' = 2y - 4$.
Ici, par identification, nous avons $a = 2$ et $b = -4$.
D'après la propriété, les solutions générales sont :
$$ y(x) = \alpha e^{2x} - \frac{-4}{2} $$
Soit après simplification :
$$ y(x) = \alpha e^{2x} + 2 \quad (\alpha \in \mathbb{R}) $$
Pour toute équation différentielle de la forme $y' = ay + b$, si l'on fixe des réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution vérifiant la condition initiale $y(x_0) = y_0$.
Cette condition permet de déterminer la valeur exacte de la constante $\alpha$.
Déterminer la solution de l'équation différentielle $y' = -y + 3$ qui vérifie la condition initiale $y(0) = 5$.
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