1. Définition et Propriétés

Introduction : La fonction réciproque du logarithme népérien

La fonction logarithme népérien $x \mapsto \ln(x)$ est une fonction continue et strictly croissante de l'intervalle $]0, +\infty[$ sur $\mathbb{R}$.

Elle réalise donc une correspondance unique et admet une fonction réciproque appelée fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$.

Définition formelle de la fonction exponentielle

On appelle fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien $\ln$.

$$\boxed{(\forall x \in \mathbb{R})(\forall y > 0) \quad e^x = y \iff x = \ln(y)}$$

• Le nombre réel $e = \exp(1) \approx 2{,}71828$ est la base du logarithme et de l'exponentielle népérienne.

• Domaine de définition : $D_{\exp} = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$.

• Ensemble d'arrivée : $\exp(\mathbb{R}) = ]0, +\infty[$.

Représentation graphique & Symétrie des courbes

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, la courbe $(C_{\exp})$ de la fonction exponentielle et la courbe $(C_{\ln})$ de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la première bissectrice (la droite d'équation $y = x$).

Remarque fondamentale (Stricte positivité sur R)

Pour tout réel $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$.

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$.

Elle ne s'annule jamais et ne prend jamais de valeurs négatives sur $\mathbb{R}$.

Propriété d'annulation réciproque

Puisque la fonction exponentielle $\exp$ et la fonction logarithme népérien $\ln$ sont deux fonctions réciproques l'une de l'autre, elles s'annulent mutuellement :

• Pour tout réel $x > 0$ : $\qquad \boxed{e^{\ln(x)} = x}$

• Pour tout réel $x \in \mathbb{R}$ : $\qquad \boxed{\ln(e^x) = x}$

Attention aux domaines de définition : $e^{\ln(x)}$ n'a de sens que si $x > 0$, alors que $\ln(e^x)$ est bien définie pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Application 1

Déterminer l'ensemble de définition des 6 fonctions suivantes :

1. $f_1(x) = \dfrac{1}{e^x - 1}$
2. $f_2(x) = \sqrt{e^{2x} - 4}$
3. $f_3(x) = \ln(e^x - 3)$

1. $f_4(x) = \dfrac{2x + 1}{e^x - 2}$
2. $f_5(x) = \sqrt{9 - e^x}$
3. $f_6(x) = \ln(5 - e^{2x})$

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Pour tous réels $a$ et $b$ et pour tout $r \in \mathbb{Q}$ :

• Produit : $\boxed{e^{a+b} = e^a \cdot e^b}$

• Inverse : $\boxed{e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}}$

• Quotient : $\boxed{e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}}$

• Puissance : $\boxed{(e^a)^r = e^{ra}}$

Exemples de simplifications algébriques d'expressions exponentielles

• Simplification de l'expression $A$ :

$$\begin{aligned}
A &= e^{3x+1} \cdot e^{1-x} \cdot e^{-2x} \\
&= e^{(3x+1) + (1-x) + (-2x)} \\
&= e^{3x + 1 + 1 - x - 2x} \\
&= e^2
\end{aligned}$$

• Simplification de l'expression $B$ :

$$\begin{aligned}
B &= (e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2 \\
&= (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x}) \\
&= 2 - (-2) \\
&= 4
\end{aligned}$$

Application 2

Simplifier au maximum les 6 expressions suivantes :

1. $A = e^{2x+3} \cdot e^{1-2x}$
2. $B = \dfrac{e^{5x-1}}{e^{3x+2}}$
3. $C = (e^{3x})^2 \cdot e^{-4x}$

1. $D = \dfrac{e^x + e^{-x}}{e^x}$
2. $E = (e^x - 1)(e^x + 1) - e^{2x}$
3. $F = \dfrac{e^{3x} - 1}{e^x - 1}$

Propriétés d'égalité et d'inégalité (Résolution d'équations et inéquations)

Par la stricte croissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ :

• Égalité : $\boxed{e^a = e^b \iff a = b}$

• Strict ordre : $\boxed{e^a < e^b \iff a < b}$

Pour tout réel $k > 0$ :

• $\boxed{e^{u(x)} = k \iff u(x) = \ln(k)}$

• $\boxed{e^{u(x)} < k \iff u(x) < \ln(k)}$

• $\boxed{e^{u(x)} > k \iff u(x) > \ln(k)}$

Rappel : Si $k \le 0$, l'équation $e^{u(x)} = k$ n'a aucune solution sur $\mathbb{R}$ car $e^{u(x)} > 0$.

Exemples de résolution d'équations et inéquations

• Exemple 1 : Résoudre l'équation $e^{2x-1} = 5$.

Puisque $5 > 0$, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$$e^{2x-1} = 5 \iff 2x - 1 = \ln(5) \iff 2x = 1 + \ln(5) \iff x = \dfrac{1 + \ln(5)}{2}$$
L'ensemble des solutions est $S = \left\{\dfrac{1 + \ln(5)}{2}\right\}$.

• Exemple 2 : Résoudre l'inéquation $e^{x+2} < 3$.

Puisque $3 > 0$, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$$x + 2 < \ln(3) \iff x < \ln(3) - 2$$
L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, \ln(3) - 2[$.

Application 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les 6 équations et inéquations suivantes :

1. $e^{3x+2} = e^{x-4}$
2. $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$
3. $e^x + 2e^{-x} = 3$

1. $e^{x+1} - 2 \le 0$
2. $e^{2x+1} - e^{x-2} > 0$
3. $e^{2x} - 5e^x + 6 < 0$