1. Définition et Propriétés Algébriques

Introduction et Activité

La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur $]0, +\infty[$. Elle admet donc des primitives sur cet intervalle. L'unique primitive de cette fonction qui s'annule en $1$ est appelée fonction logarithme népérien.

Définition formelle

On appelle fonction logarithme népérien, notée $\ln$, l'unique primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui prend la valeur $0$ en $1$.
$$\boxed{\forall x \in ]0, +\infty[, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad \text{et} \quad \ln(1) = 0}$$

Représentation graphique de (Cln)

Domaine de définition

• La fonction logarithme népérien $x \mapsto \ln(x)$ est définie uniquement pour les réels strictly positifs :
$$\boxed{D_{\ln} = ]0, +\infty[}$$
• Pour la fonction composée $x \mapsto \ln(u(x))$, son ensemble de définition $D$ est formé des réels $x$ pour lesquels $u(x)$ existe et est strictement positif :
$$\boxed{D = \left\{ x \in \mathbb{R} \ / \ u(x) > 0 \right\}}$$

Application 1 : Domaine de définition

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
1. $f(x) = \ln(4x + 12)$
2. $g(x) = \ln\left(\frac{x+2}{x-3}\right)$
3. $h(x) = \ln(x^2 - 3x)$
4. $k(x) = \ln(|3x - 2|)$

Propriété fondamentale (Relation fonctionnelle)

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :
$$\boxed{\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)}$$

Propriétés algébriques déduites

Soient $a > 0$, $b > 0$ et $r \in \mathbb{Q}$ :
$$\boxed{\begin{aligned} \ln\left(\frac{1}{a}\right) &= -\ln(a) \\[6pt] \ln\left(\frac{a}{b}\right) &= \ln(a) - \ln(b) \\[6pt] \ln(a^r) &= r \ln(a) \\[6pt] \ln(\sqrt{a}) &= \frac{1}{2}\ln(a) \end{aligned}}$$

Exemples de simplifications algébriques

• Simplification de l'expression $A$ :
$$\begin{aligned}
A &= \ln(16) + \ln(\sqrt[3]{4}) - \ln(64) \\[6pt]
&= \ln\left(2^4\right) + \ln\left(2^{\frac{2}{3}}\right) - \ln\left(2^6\right) \\[6pt]
&= 4\ln(2) + \frac{2}{3}\ln(2) - 6\ln(2) \\[6pt]
&= \left(4 + \frac{2}{3} - 6\right) \ln(2) \\[6pt]
&= -\frac{4}{3}\ln(2)
\end{aligned}$$
• Simplification de l'expression $B$ :
$$\begin{aligned}
B &= \ln(\sqrt{27}) + \ln\left(\frac{1}{3}\right) \\[6pt]
&= \ln\left(3^{\frac{3}{2}}\right) - \ln(3) \\[6pt]
&= \frac{3}{2}\ln(3) - \ln(3) \\[6pt]
&= \frac{1}{2}\ln(3)
\end{aligned}$$

Application 2 : Simplification d'expressions

Simplifier au maximum les expressions suivantes :
1. $E = \ln(8) + \ln(25) - \ln(20)$
2. $F = \ln(\sqrt{32}) - \frac{1}{2}\ln(2) + \ln\left(\frac{1}{4}\right)$
3. $G = \ln(2 + \sqrt{3}) + \ln(2 - \sqrt{3})$