Représentation géométrique dans le plan

Introduction

L'une des forces des nombres complexes est d'offrir une interprétation géométrique simple. Le plan réel $\mathbb{R}^2$ est identifié au plan complexe, associant à chaque point ou vecteur un unique nombre complexe.

Le plan complexe, affixes de points et vecteurs

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{e}_1, \vec{e}_2)$.

• À tout nombre complexe $z = x + iy$ ($x,y \in \mathbb{R}$), on associe le point $M(x, y)$.
• Le point $M$ est appelé l'image de $z$.
• Le nombre complexe $z$ est appelé l'affixe du point $M$, noté $z = \text{aff}(M)$ ou $z_M$.
• À tout vecteur $\vec{u}(x, y)$, on associe son affixe $z_{\vec{u}} = x + iy$.

Propriétés des affixes géométriques

Soient $A$ et $B$ deux points du plan d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$, et $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs :

• Affixe du vecteur $\vec{AB}$ : $\boxed{z_{\vec{AB}} = z_B - z_A}$

• Longueur du segment $[AB]$ (distance $AB$) : $\boxed{AB = |z_B - z_A|}$

• Affixe du milieu $I$ du segment $[AB]$ : $\boxed{z_I = \frac{z_A + z_B}{2}}$

Application résolue (Affixes géométriques)

On considère dans le plan complexe les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $z_A = 3i$, $z_B = 1 - 2i$ et $z_C = 2 - i$.

1. Déterminer l'affixe des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et de la combinaison linéaire $2\vec{AB} - \vec{BC}$.
2. Déterminer l'affixe du point $D$ sachant que $ABCD$ est un parallélogramme.
3. Déterminer l'affixe du point $I$, centre du parallélogramme $ABCD$.

Critère d'alignement de trois points

Soient $A, B$ et $C$ trois points distincts d'affixes $z_A, z_B$ et $z_C$ :

Les points $A, B$ et $C$ sont alignés si et seulement si : $\boxed{\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}}$

Application résolue (Alignement de points)

Soient les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = 1 + i$, $z_B = 3 + 2i$ et $z_C = 7 + 4i$. Démontrer que les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

Alignement ou cocyclicité de quatre points

Soient $A, B, C$ et $D$ quatre points distincts du plan :

Les points $A, B, C$ et $D$ sont cocycliques (situés sur un même cercle) ou alignés si et seulement si le rapport de leur birapport est réel : $\boxed{\frac{z_A - z_B}{z_C - z_B} \times \frac{z_C - z_D}{z_A - z_D} \in \mathbb{R}}$

Application résolue (Points cocycliques)

Soient les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A = 1$, $z_B = i$, $z_C = -1$ et $z_D = -i$. Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont cocycliques.