Définition et propriétés du produit vectoriel

Introduction : orientation de l'espace

En géométrie de l'espace, il est essentiel de pouvoir distinguer deux sens de rotation possibles. C'est le rôle de la notion de trièdre direct et de base directe, qui permet d'orienter l'espace avant de définir le produit vectoriel.

Trièdre direct et repère direct

Trois demi-droites non coplanaires $[OI]$, $[OJ]$ et $[OK]$ constituent dans cet ordre un trièdre noté $([OI],[OJ],[OK])$.

Le bonhomme d'Ampère est une personne virtuelle placée le long de $[OK]$, les pieds en $O$, et qui regarde dans la direction de $[OI]$.

• Si la demi-droite $[OJ]$ est à sa gauche, le trièdre est dit direct.
• Dans ce cas, le repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est dit direct.

La base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est dite directe si le repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est direct.

Exemple : repère direct ou indirect

Le repère usuel $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ avec $\vec{i}$ selon $x$, $\vec{j}$ selon $y$, $\vec{k}$ selon $z$ est un repère direct.

Si l'on permute deux vecteurs (par exemple $(O, \vec{j}, \vec{i}, \vec{k})$), le repère devient indirect.

Visualisation 3D : trièdre direct

Faites tourner la figure pour observer la configuration. Le vecteur $\vec{u} \wedge \vec{v}$ (en violet) est orthogonal au plan contenant $\vec{u}$ (orange) et $\vec{v}$ (vert-turquoise), et la base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})$ est directe (règle de la main droite).

Visualisation 3D : trièdre indirect

Si l'on considère $\vec{v} \wedge \vec{u}$ au lieu de $\vec{u} \wedge \vec{v}$, le vecteur résultant (en rouge) pointe dans le sens opposé : la base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{v} \wedge \vec{u})$ est alors indirecte (règle de la main gauche). C'est la propriété d'anticommutativité : $\vec{v} \wedge \vec{u} = -(\vec{u} \wedge \vec{v})$.

Produit vectoriel de deux vecteurs

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$, est le vecteur défini par :

• Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$.

• Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires : $\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ tel que :
• $\vec{w} \perp \vec{u}$ et $\vec{w} \perp \vec{v}$
• La base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est de sens direct
• $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times |\sin(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})|$

Interprétation géométrique

$\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$ représente l'aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Si $\theta = \widehat{(\vec{u}, \vec{v})}$, alors :
$$\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot |\sin\theta|$$

Visualisation : aire du parallélogramme

Le parallélogramme violet construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ a pour aire $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$. Plus les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont proches de la perpendicularité, plus cette aire est grande ; s'ils sont colinéaires, l'aire devient nulle.

Propriétés du produit vectoriel

Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et tout réel $\alpha$ :

• Anticommutativité : $\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}$
• Élément nul : $\vec{u} \wedge \vec{0} = \vec{0} \wedge \vec{u} = \vec{0}$
• Distributivité : $\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}$
• Homogénéité : $(\alpha\vec{u}) \wedge \vec{v} = \alpha(\vec{u} \wedge \vec{v})$

Attention : Le produit vectoriel n'est pas commutatif : $\vec{u} \wedge \vec{v} \neq \vec{v} \wedge \vec{u}$ en général.

Application des propriétés

Montrons que : $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OA}$

On a $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$, donc :$$\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \wedge (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA})$$En développant par distributivité et en utilisant $\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OA} = \vec{0}$ et l'anticommutativité, on obtient :$$= \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OA}$$

Application directe — Norme du produit vectoriel

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 5$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 5$. Calculer $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$.