Exercices corrigés : Équation d'une droite

Exercice 1

Déterminez l'équation de la droite passant par les points A(1,2) et B(3,6).

Corrigé

• Calcul des coordonnées du vecteur directeur $\vec{AB}$ : On calcule les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ : $$\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A) = \vec{AB}(3 - 1, 6 - 2) = \vec{AB}(2, 4)$$
• Condition d'alignement : Soit $M(x, y)$ un point du plan. Le point $M$ appartient à la droite $(AB)$ si et seulement si les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires, soit $\det(\vec{AM}, \vec{AB}) = 0$. On a $\vec{AM}(x - 1, y - 2)$ et $\vec{AB}(2, 4)$.
• $$\begin{aligned} \det(\vec{AM}, \vec{AB}) = 0 &\iff (x - 1) \times 4 - (y - 2) \times 2 = 0 \\ &\iff 4(x - 1) - 2(y - 2) = 0 \\ &\iff 4x - 4 - 2y + 4 = 0 \\ &\iff 4x - 2y = 0 \\ &\iff 2x - y = 0 \end{aligned}$$
• Conclusion : Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $2x - y = 0$ (soit sous forme réduite $y = 2x$).