Exercices corrigés : Opérations sur les polynômes

Exercice 1

Calculez le quotient et le reste de la division de P(x) = x³ - 1 par Q(x) = x - 1.

Corrigé

• Analyse et méthode : On cherche le polynôme quotient $M(x)$ et le reste $R(x)$ de la division euclidienne de $P(x)$ par $Q(x)$ tels que : $P(x) = Q(x) M(x) + R(x)$ avec $\deg(R) < \deg(Q) = 1$. Le reste $R(x)$ est donc une constante $R \in \mathbb{R}$. En utilisant l'identité remarquable $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, on factorise $P(x)$ :
• $$\begin{aligned} P(x) &= x^3 - 1 \\ &= (x - 1)(x^2 + x + 1) + 0 \end{aligned}$$
• Conclusion : Le quotient de la division de $P(x)$ par $Q(x)$ est $M(x) = x^2 + x + 1$ et le reste est $R = 0$.