Exercices corrigés : Fonctions trigonométriques

Exercice 1

Calculez sin(π/4) et cos(π/4).

Corrigé

• Relation entre le cosinus et le sinus de $\frac{\pi}{4}$ : On sait que pour tout real $x$, $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)$. En particulier, pour $x = \frac{\pi}{4}$ : $$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$$
• Utilisation de la relation fondamentale de la trigonométrie : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. En appliquant cette égalité pour $x = \frac{\pi}{4}$ et sachant que $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$, on obtient :
• $$\begin{aligned} \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 &\iff 2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \\ &\iff \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \end{aligned}$$
• Détermination du signe et déduction : Puisque $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$, l'angle est situé dans le premier quadrant, donc $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) > 0$. D'où : $$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Comme $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$, on en déduit que $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Conclusion : On a $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.