Fonction majorée, minorée, bornée

Activité

Définition : fonction majorée, minorée, bornée

Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle inclus dans $D_f$.

• $f$ est majorée sur $I$ s'il existe un réel $M$ tel que : $\boxed{\forall x \in I,\;\; f(x) \leq M}$
• $f$ est minorée sur $I$ s'il existe un réel $m$ tel que : $\boxed{\forall x \in I,\;\; f(x) \geq m}$
• $f$ est bornée sur $I$ si elle est à la fois majorée et minorée sur $I$ :
$$\boxed{\forall x \in I,\;\; m \leq f(x) \leq M}$$
$M$ est un majorant et $m$ un minorant de $f$ sur $I$.

Remarques et interprétation graphique

Propriété

Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle inclus dans $D_f$.
$$\boxed{f \text{ est bornée sur } I \iff \exists k > 0,\;\; \forall x \in I,\;\; |f(x)| \leq k}$$

Méthode : montrer que f est majorée ou minorée

Pour montrer que $f$ est majorée par $M$ sur $I$, on étudie le signe de $f(x) - M$ : il doit être négatif pour tout $x$ de $I$.

Exemple. $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$.
• $f(x) - 1 = \dfrac{x^2 - (x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \dfrac{-1}{x^2 + 1} < 0$, donc $f(x) < 1$ : $f$ est majorée par $1$.
• $x^2 \geq 0$ et $x^2 + 1 > 0$, donc $f(x) \geq 0$ : $f$ est minorée par $0$.

Conclusion : $\boxed{\forall x \in \mathbb{R},\;\; 0 \leq f(x) < 1}$, donc $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$.

Exemple : une fonction minorée mais non majorée

Application

1. Montrer que $f(x) = 3 - x^2$ est majorée par $3$ sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que $g(x) = \dfrac{x - 1}{x + 1}$ est bornée sur $[0\,;\,+\infty[$ par $-1$ et $1$.
3. Montrer que $h(x) = \dfrac{1}{x}$ est bornée sur $[1\,;\,4]$.
4. Montrer que $k(x) = 2x + 1$ est bornée sur $[-1\,;\,2]$.