Rappel : domaine de définition et parité

Rappel : fonction numérique et domaine de définition

Une fonction numérique $f$ d'une variable réelle associe à chaque réel $x$ au plus un réel noté $f(x)$, appelé image de $x$ par $f$.

Le domaine de définition de $f$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe :
$$\boxed{D_f = \{\, x \in \mathbb{R} \;/\; f(x) \text{ existe} \,\}}$$
La courbe représentative de $f$ dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ est l'ensemble $C_f$ des points $M(x\,;\,f(x))$ avec $x \in D_f$.

Méthode : déterminer un domaine de définition

On cherche les valeurs interdites :

• $f(x) = P(x)$ polynôme : $D_f = \mathbb{R}$.
• $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ : $\boxed{x \in D_f \iff Q(x) \neq 0}$
• $f(x) = \sqrt{P(x)}$ : $\boxed{x \in D_f \iff P(x) \geq 0}$
• $f(x) = \dfrac{P(x)}{\sqrt{Q(x)}}$ : $\boxed{x \in D_f \iff Q(x) > 0}$

Quand plusieurs conditions apparaissent, $D_f$ est l'ensemble des $x$ qui les vérifient toutes à la fois.

Exemples

• $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 - 4}$ : le dénominateur s'annule pour $x^2 = 4$, soit $x = -2$ ou $x = 2$. Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;\,2\}$.
• $g(x) = \sqrt{3 - x}$ : il faut $3 - x \geq 0$, soit $x \leq 3$. Donc $D_g = \left]-\infty\,;\,3\right]$.
• $h(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x - 1}}$ : la racine est au dénominateur, il faut $x - 1 > 0$ strictement. Donc $D_h = \left]1\,;\,+\infty\right[$.

Définition : fonction paire, fonction impaire

Soit $f$ une fonction de domaine $D_f$.

• $f$ est paire si : $\boxed{\forall x \in D_f,\;\; -x \in D_f \;\text{ et }\; f(-x) = f(x)}$
• $f$ est impaire si : $\boxed{\forall x \in D_f,\;\; -x \in D_f \;\text{ et }\; f(-x) = -f(x)}$

La condition « $-x \in D_f$ » signifie que $D_f$ est symétrique par rapport à $0$.

Propriété : interprétation graphique

Méthode : étudier la parité

Étape 1. Vérifier que $D_f$ est symétrique par rapport à $0$. Sinon, $f$ n'est ni paire ni impaire.
Étape 2. Calculer $f(-x)$ et le comparer à $f(x)$ et à $-f(x)$.

• $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ : $D_f = \mathbb{R}$ et $f(-x) = \dfrac{-x}{x^2 + 1} = -f(x)$, donc $f$ est impaire.
• $g(x) = x^2 + |x|$ : $D_g = \mathbb{R}$ et $g(-x) = x^2 + |x| = g(x)$, donc $g$ est paire.
• $h(x) = \sqrt{x}$ : $D_h = [0\,;\,+\infty[$ n'est pas symétrique ($1 \in D_h$ mais $-1 \notin D_h$) : ni paire ni impaire.
• $k(x) = x^2 + x$ : $k(1) = 2$ et $k(-1) = 0$. Comme $k(-1) \neq k(1)$ et $k(-1) \neq -k(1)$, $k$ est ni paire ni impaire.

Application

Déterminer le domaine de définition puis étudier la parité de chaque fonction :

1. $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 1}$
2. $g(x) = \sqrt{4 - x^2}$
3. $h(x) = \dfrac{1}{x - 2}$
4. $k(x) = \dfrac{|x| + 1}{x^2 + 3}$