Exercices corrigés : Fonction majorée, minorée, bornée

Exercice 1

Niveau : Facile

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2}$ définie sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est bornée par $0$ et $\dfrac{1}{2}$.

Corrigé

Encadrement de $f(x)$

• Étape 1 : encadrer le dénominateur : Pour tout réel $x$, $x^2 \geq 0$, donc $x^2 + 2 \geq 2 > 0$.
• Étape 2 : passer à l'inverse : Les deux membres sont strictement positifs, donc l'ordre est renversé :
• $$x^2 + 2 \geq 2 \;\Longrightarrow\; 0 < \dfrac{1}{x^2 + 2} \leq \dfrac{1}{2}$$
• Conclusion $$\boxed{\forall x \in \mathbb{R},\;\; 0 < f(x) \leq \tfrac{1}{2}}$$

Exercice 2

Niveau : Moyen

Soit $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer $1 - f(x)$ et montrer que $f(x) \leq 1$.
2. Calculer $f(x) + 1$ et montrer que $f(x) \geq -1$.
3. En déduire que $|f(x)| \leq 1$.

Corrigé

1. Majoration

• Étape 1 : réduire au même dénominateur : Pour tout réel $x$ :
• $$1 - f(x) = \dfrac{x^2 + 1 - 2x}{x^2 + 1} = \dfrac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}$$
• Étape 2 : signe : Un carré est positif et $x^2 + 1 > 0$, donc $1 - f(x) \geq 0$.
• Conclusion $$\boxed{f(x) \leq 1}$$

2. Minoration

• Étape 1 : réduire au même dénominateur : Pour tout réel $x$ :
• $$f(x) + 1 = \dfrac{2x + x^2 + 1}{x^2 + 1} = \dfrac{(x + 1)^2}{x^2 + 1} \geq 0$$
• Conclusion $$\boxed{f(x) \geq -1}$$

3. Conclusion

• Étape 1 : réunir : On a $-1 \leq f(x) \leq 1$ pour tout réel $x$, ce qui s'écrit avec une valeur absolue.
• Conclusion $$\boxed{\forall x \in \mathbb{R},\;\; |f(x)| \leq 1 \;:\; f \text{ est bornée}}$$

Exercice 3

Niveau : Difficile

1. Soit $f(x) = \dfrac{x + 2}{x + 1}$ sur $[0\,;\,+\infty[$. Montrer que $1 < f(x) \leq 2$.
2. Soit $g(x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
a. Montrer que $g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}$.
b. En déduire que $g$ est bornée sur $[0\,;\,+\infty[$.

Corrigé

1. $f(x) = \dfrac{x + 2}{x + 1}$

• Étape 1 : écrire f autrement : Pour $x \geq 0$ :
• $$f(x) = \dfrac{(x + 1) + 1}{x + 1} = 1 + \dfrac{1}{x + 1}$$
• Étape 2 : encadrer $x \geq 0 \Rightarrow x + 1 \geq 1 \Rightarrow 0 < \dfrac{1}{x + 1} \leq 1$, puis on ajoute $1$.
• Conclusion $$\boxed{\forall x \geq 0,\;\; 1 < f(x) \leq 2}$$

2.a. Expression conjuguée

• Étape 1 : multiplier par la quantité conjuguée $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x} > 0$, on peut donc multiplier et diviser par ce nombre :
• $$\begin{aligned} g(x) &= \dfrac{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} \\ &= \dfrac{(x + 1) - x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}}$$

2.b. $g$ est bornée

• Étape 1 : minorer le dénominateur $\sqrt{x} \geq 0$ et $\sqrt{x + 1} \geq \sqrt{1} = 1$, donc $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x} \geq 1$.
• Étape 2 : passer à l'inverse : Le dénominateur est supérieur ou égal à $1$, donc son inverse est compris entre $0$ et $1$.
• Conclusion $$\boxed{\forall x \geq 0,\;\; 0 < g(x) \leq 1}$$