Exercices corrigés : Les quantificateurs

Exercice 1

Niveau : Facile

Écrire chaque énoncé à l'aide de quantificateurs, puis donner sa valeur de vérité :

1. Le carré de tout réel est positif.
2. Il existe un entier naturel dont le double vaut $10$.
3. Tout entier naturel est pair.
4. L'équation $x^2 = -1$ admet une solution réelle.

Corrigé

1. Le carré de tout réel est positif

• Étape 1 : traduction « tout réel » donne $\forall$.
• $$\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 \geq 0$$
• Conclusion : Un carré est toujours positif : $$\boxed{\text{vraie}}$$

2. Un entier dont le double vaut 10

• Étape 1 : traduction « il existe » donne $\exists$.
• $$\exists n \in \mathbb{N},\; 2n = 10$$
• Conclusion $n = 5$ convient : $$\boxed{\text{vraie}}$$

3. Tout entier naturel est pair

• Étape 1 : traduction « $n$ est pair » signifie qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $n = 2k$.
• $$\forall n \in \mathbb{N},\; \exists k \in \mathbb{N},\; n = 2k$$
• Conclusion $n = 1$ n'est pas pair : $$\boxed{\text{fausse}}$$

4. $x^2 = -1$ a une solution réelle

• Étape 1 : traduction : On affirme l'existence d'un réel :
• $$\exists x \in \mathbb{R},\; x^2 = -1$$
• Conclusion : Un carré n'est jamais strictement négatif : $$\boxed{\text{fausse}}$$

Exercice 2

Niveau : Moyen

Donner la valeur de vérité de chaque proposition, en justifiant :

1. $\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 - 2x + 1 \geq 0$
2. $\exists x \in \mathbb{R},\; x^2 + x + 1 = 0$
3. $\exists!\, x \in \mathbb{R},\; x^2 - 4x + 4 = 0$
4. $\forall x \in \mathbb{R}^{*},\; x + \dfrac{1}{x} \geq 2$

Corrigé

1. $x^2 - 2x + 1 \geq 0$

• Étape 1 : identité remarquable : Pour tout réel $x$ :
• $$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$$
• Conclusion $$\boxed{\text{vraie}}$$

2. $x^2 + x + 1 = 0$

• Étape 1 : discriminant : C'est une équation du second degré avec $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$.
• $$\Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0$$
• Conclusion : L'équation n'a aucune solution réelle : $$\boxed{\text{fausse}}$$

3. $\exists!\, x,\; x^2 - 4x + 4 = 0$

• Étape 1 : factoriser : Pour tout réel $x$ :
• $$x^2 - 4x + 4 = 0 \iff (x - 2)^2 = 0 \iff x = 2$$
• Conclusion : Il y a une seule solution, $x = 2$ : $$\boxed{\text{vraie}}$$

4. $x + \dfrac{1}{x} \geq 2$

• Étape 1 : tester un réel négatif : Pour $x < 0$, les deux termes sont négatifs. Prenons $x = -1$ :
• $$-1 + \frac{1}{-1} = -2 < 2$$
• Conclusion $$\boxed{\text{fausse}}$$

Exercice 3

Niveau : Difficile

1. Comparer les deux propositions suivantes et donner la valeur de vérité de chacune :
$$A : \forall x \in \mathbb{R},\; \exists y \in \mathbb{R},\; x + y = 0 \qquad B : \exists y \in \mathbb{R},\; \forall x \in \mathbb{R},\; x + y = 0$$
2. Donner la valeur de vérité de $C : \forall x \in \mathbb{R},\; \exists y \in \mathbb{R},\; x = y^2$.
3. Donner la valeur de vérité de $D : \forall x \in \mathbb{R}^{+},\; \exists y \in \mathbb{R},\; x = y^2$.

Corrigé

1. Les propositions $A$ et $B$

• Étape 1 : la proposition A : Soit $x$ un réel quelconque. Le réel $y = -x$ convient, car $x + (-x) = 0$. Ici $y$ dépend de $x$.
• $$A \text{ est vraie}$$
• Étape 2 : la proposition B $B$ demande un même $y$ qui marche pour tous les $x$. Soit $y$ un réel quelconque ; choisissons $x = 1 - y$ :
• $$x + y = (1 - y) + y = 1 \neq 0$$
• Étape 3 : conclure : Aucun réel $y$ ne convient pour tous les $x$ : $B$ est fausse. Échanger $\forall$ et $\exists$ a changé le sens.
• Conclusion $$\boxed{A \text{ vraie} \quad\text{et}\quad B \text{ fausse}}$$

2. La proposition $C$

• Étape 1 : un contre-exemple : Prenons $x = -1$. Il faudrait un réel $y$ tel que $y^2 = -1$, ce qui est impossible car $y^2 \geq 0$.
• Conclusion $$\boxed{C \text{ est fausse}}$$

3. La proposition $D$

• Étape 1 : construire y : Soit $x \geq 0$ quelconque. Le réel $y = \sqrt{x}$ existe car $x \geq 0$, et :
• $$y^2 = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x$$
• Conclusion $$\boxed{D \text{ est vraie}}$$