Définition et notations

Activité

Définition : suite numérique

Soit $n_0$ un entier naturel et $I = \{n \in \mathbb{N} \mid n \geq n_0\}$.

Une suite numérique est une fonction $u$ de $I$ vers $\mathbb{R}$ : à chaque entier $n$ de $I$, elle associe un réel noté $u_n$ (plutôt que $u(n)$).
$$\boxed{u : I \longrightarrow \mathbb{R}, \quad n \longmapsto u_n}$$
• $u_n$ est le terme de rang $n$ (ou d'indice $n$), appelé aussi terme général ;
• $u_{n_0}$ est le premier terme ;
• la suite se note $(u_n)_{n \geq n_0}$, ou $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ quand $n_0 = 0$.

Définition : deux façons de définir une suite

1. Par son terme général. On donne $u_n$ en fonction de $n$ :
$$\boxed{u_n = f(n)}$$
Chaque terme se calcule directement : pour $u_{50}$, on remplace $n$ par $50$.

2. Par récurrence. On donne le premier terme et une relation qui calcule chaque terme à partir du précédent :
$$\boxed{\begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = f(u_n) \quad (n \in \mathbb{N}) \end{cases}}$$
Chaque terme se calcule de proche en proche : pour $u_3$ il faut $u_2$, pour $u_2$ il faut $u_1$, et pour $u_1$ il faut $u_0$.
$$u_0 \xrightarrow{\;f\;} u_1 \xrightarrow{\;f\;} u_2 \xrightarrow{\;f\;} u_3 \xrightarrow{\;f\;} \cdots$$
La relation peut aussi faire intervenir $n$, par exemple $u_{n+1} = u_n + 2n$.

Exemple 1 : suite définie par son terme général

Exemple 2 : suite définie par récurrence

Exemple 3 : une relation qui dépend de n

Soit $v_0 = 1$ et $v_{n+1} = v_n + 2n + 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Pour calculer $v_1$, on prend $n = 0$ dans la relation ; pour $v_2$, on prend $n = 1$, et ainsi de suite :
$$\begin{aligned} v_1 &= v_0 + 2 \times 0 + 1 = 2 \\ v_2 &= v_1 + 2 \times 1 + 1 = 5 \\ v_3 &= v_2 + 2 \times 2 + 1 = 10 \\ v_4 &= v_3 + 2 \times 3 + 1 = 17 \end{aligned}$$
Sur ces premiers termes, $v_n = n^2 + 1$ : c'est une conjecture, qu'on démontre par récurrence.

Remarque : ne pas confondre

Pour $u_n = n^2$ ($n \in \mathbb{N}$) :

• $u_{n+1} = (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1$ : c'est le terme suivant ;
• $u_n + 1 = n^2 + 1$ : c'est le terme $u_n$ augmenté de $1$ ;
• $u_{2n} = (2n)^2 = 4n^2$ et $u_{n-1} = (n - 1)^2$ (pour $n \geq 1$).

Nombre de termes. De $u_p$ à $u_n$ ($p \leq n$), il y a $\boxed{n - p + 1}$ termes : de $u_0$ à $u_9$ il y en a $10$, de $u_3$ à $u_{10}$ il y en a $8$.

Application

1. Soit $u_n = \dfrac{n^2 - 1}{n + 2}$. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_4$, puis exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.
2. Soit $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 3u_n - 4$. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
3. Soit $v_1 = 1$ et $v_{n+1} = \dfrac{v_n}{v_n + 1}$ pour $n \geq 1$. Calculer $v_2$, $v_3$ et $v_4$, puis conjecturer $v_n$.
4. Soit $w_n = \dfrac{(-1)^n}{n + 1}$. Calculer $w_0$, $w_1$, $w_2$, $w_3$ et $w_4$. Quel est le signe de $w_n$ selon la parité de $n$ ?