Suite majorée, minorée, bornée

Activité

Définition : suite majorée, minorée, bornée

Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique.

• $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $\forall n \geq n_0,\; u_n \leq M$ ;
• $(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $\forall n \geq n_0,\; u_n \geq m$ ;
• $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée :
$$\boxed{\begin{aligned} &(u_n) \text{ bornée} \\ &\iff \exists (m, M) \in \mathbb{R}^2,\; \forall n \geq n_0,\; m \leq u_n \leq M \end{aligned}}$$
$M$ est un majorant et $m$ un minorant : tout réel plus grand que $M$ est encore un majorant.

Propriété : caractérisation par la valeur absolue

$$\boxed{(u_n) \text{ est bornée} \iff \exists K > 0,\;\; \forall n \geq n_0,\;\; |u_n| \leq K}$$

Méthode : borner une suite récurrente

Pour montrer que $u_n \leq M$ pour tout $n$ quand $u_{n+1} = f(u_n)$, on raisonne par récurrence :

• Initialisation : on vérifie que $u_0 \leq M$ ;
• Hérédité : on suppose $u_n \leq M$ pour un entier $n$ fixé, et on en déduit $u_{n+1} \leq M$, soit en encadrant $f(u_n)$ pas à pas, soit en étudiant le signe de $M - u_{n+1}$ ;
• Conclusion : $\forall n \in \mathbb{N},\; u_n \leq M$.

Pour une suite donnée par $u_n = f(n)$, pas besoin de récurrence : on étudie directement le signe de $M - u_n$, ou on encadre $f(n)$.

Exemple 1 : encadrer pas à pas

Exemple 2 : étudier le signe d'une différence

Remarque : une figure ne suffit pas

• Une figure ne montre qu'un nombre fini de termes : elle aide à deviner un majorant, la démonstration le prouve pour tout $n$.
• Pour montrer qu'une suite n'est pas majorée, on montre que $\forall M \in \mathbb{R},\; \exists n,\; u_n > M$. Exemple : $u_n = n^2$. Pour tout réel $M$, il existe un entier $n > |M|$, et alors $u_n = n^2 \geq n > |M| \geq M$.
• Une suite à termes positifs est minorée par $0$ ; une suite à termes dans $[a\,;\,b]$ est bornée.

Application

1. Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2$. Montrer par récurrence que $1 \leq u_n \leq 3$ pour tout $n$.
2. Soit $v_0 = 0$ et $v_{n+1} = \sqrt{v_n + 2}$. Montrer par récurrence que $0 \leq v_n \leq 2$ pour tout $n$.
3. Soit $w_0 = 3$ et $w_{n+1} = \dfrac{2w_n + 3}{w_n + 2}$. Montrer par récurrence que $w_n \geq 1$ pour tout $n$.
4. Montrer que la suite $t_n = \dfrac{3n + 5}{n + 1}$ est bornée.