Exercices corrigés : Suite majorée, minorée, bornée

Exercice 1

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_n = \dfrac{2n + 3}{n + 1}$.

1. Vérifier que $u_n = 2 + \dfrac{1}{n + 1}$.
2. En déduire que $2 < u_n \leq 3$ pour tout $n$.
3. La suite est-elle bornée ? Donner un réel $K$ tel que $|u_n| \leq K$.

Corrigé

1. Décomposition

• Étape 1 : faire apparaître $n + 1$ $2n + 3 = 2(n + 1) + 1$, donc :
• $$u_n = \dfrac{2(n + 1) + 1}{n + 1} = 2 + \dfrac{1}{n + 1}$$
• Conclusion $$\boxed{u_n = 2 + \dfrac{1}{n + 1}}$$

2. Encadrement

• Étape 1 : encadrer $\dfrac{1}{n + 1}$ $n + 1 \geq 1$, donc $0 < \dfrac{1}{n + 1} \leq 1$ ; on ajoute $2$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; 2 < u_n \leq 3}$$

3. Bornée

• Étape 1 : valeur absolue $u_n > 2 > 0$, donc $|u_n| = u_n \leq 3$.
• Conclusion $$\boxed{(u_n) \text{ est bornée, et } K = 3 \text{ convient}}$$

Exercice 2

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Montrer par récurrence que $2 \leq u_n \leq 6$ pour tout $n$.
3. Vérifier que $6 - u_{n+1} = \dfrac{1}{2}(6 - u_n)$ et retrouver ainsi que $u_n \leq 6$.

Corrigé

1. Premiers termes

• Étape 1 : de proche en proche $u_1 = 1 + 3 = 4$, $u_2 = 2 + 3 = 5$, $u_3 = \dfrac{5}{2} + 3 = \dfrac{11}{2}$.
• Conclusion $$\boxed{u_1 = 4,\;\; u_2 = 5,\;\; u_3 = \dfrac{11}{2}}$$

2. $2 \leq u_n \leq 6$

• Étape 1 : initialisation $u_0 = 2$ et $2 \leq 2 \leq 6$.
• Étape 2 : hérédité : On suppose $2 \leq u_n \leq 6$. On multiplie par $\frac{1}{2} > 0$ puis on ajoute $3$ :
• $$2 \leq u_n \leq 6 \;\Longrightarrow\; 1 \leq \tfrac{1}{2}u_n \leq 3 \;\Longrightarrow\; 4 \leq u_{n+1} \leq 6$$
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; 2 \leq u_n \leq 6}$$

3. Une autre preuve de $u_n \leq 6$

• Étape 1 : calculer $6 - u_{n+1}$ : On remplace $u_{n+1}$ :
• $$6 - u_{n+1} = 6 - \tfrac{1}{2}u_n - 3 = 3 - \tfrac{1}{2}u_n = \tfrac{1}{2}(6 - u_n)$$
• Étape 2 : le signe se transmet $6 - u_0 = 4 \geq 0$, et si $6 - u_n \geq 0$ alors $6 - u_{n+1} = \frac{1}{2}(6 - u_n) \geq 0$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; u_n \leq 6}$$

Exercice 3

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2}{u_n + 2}$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Montrer que, si $u_n \geq 0$ : $\;u_{n+1} - 1 = \dfrac{2u_n}{u_n + 2}$ et $2 - u_{n+1} = \dfrac{2 - u_n}{u_n + 2}$.
3. En déduire par récurrence que $1 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n$.

Corrigé

1. Premiers termes

• Étape 1 : de proche en proche $u_1 = \dfrac{3 + 2}{1 + 2} = \dfrac{5}{3}$ et $u_2 = \dfrac{5 + 2}{\frac{5}{3} + 2} = \dfrac{7}{11/3} = \dfrac{21}{11}$.
• Conclusion $$\boxed{u_1 = \dfrac{5}{3},\;\; u_2 = \dfrac{21}{11}}$$

2. Deux différences

• Étape 1 : même dénominateur $u_n + 2 > 0$ car $u_n \geq 0$ :
• $$\begin{aligned} u_{n+1} - 1 &= \dfrac{3u_n + 2 - (u_n + 2)}{u_n + 2} = \dfrac{2u_n}{u_n + 2} \\ 2 - u_{n+1} &= \dfrac{2(u_n + 2) - (3u_n + 2)}{u_n + 2} = \dfrac{2 - u_n}{u_n + 2} \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{u_{n+1} - 1 = \dfrac{2u_n}{u_n + 2} \quad \text{et} \quad 2 - u_{n+1} = \dfrac{2 - u_n}{u_n + 2}}$$

3. $1 \leq u_n \leq 2$

• Étape 1 : initialisation $u_0 = 1 \in [1\,;\,2]$.
• Étape 2 : hérédité : Si $1 \leq u_n \leq 2$, alors $u_n \geq 0$ et les deux égalités s'appliquent : $2u_n \geq 0$ et $2 - u_n \geq 0$, avec $u_n + 2 > 0$. Donc $u_{n+1} - 1 \geq 0$ et $2 - u_{n+1} \geq 0$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; 1 \leq u_n \leq 2}$$

Exercice 4

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n}$.

1. Montrer par récurrence que $u_n \geq 1$ pour tout $n$ (la suite est donc bien définie).
2. Montrer que $u_{n+1}^2 \geq u_n^2 + 2$.
3. En déduire par récurrence que $u_n^2 \geq 2n + 1$ pour tout $n$.
4. Montrer que $(u_n)$ n'est pas majorée.

Corrigé

1. $u_n \geq 1$

• Étape 1 : initialisation $u_0 = 1 \geq 1$.
• Étape 2 : hérédité : Si $u_n \geq 1$, alors $u_n > 0$ et $\dfrac{1}{u_n} > 0$, donc $u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n} > u_n \geq 1$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; u_n \geq 1}$$

2. $u_{n+1}^2 \geq u_n^2 + 2$

• Étape 1 : développer : On développe le carré d'une somme :
• $$u_{n+1}^2 = u_n^2 + 2 \times u_n \times \dfrac{1}{u_n} + \dfrac{1}{u_n^2} = u_n^2 + 2 + \dfrac{1}{u_n^2}$$
• Conclusion $$\boxed{u_{n+1}^2 \geq u_n^2 + 2 \quad \text{car} \quad \dfrac{1}{u_n^2} > 0}$$

3. $u_n^2 \geq 2n + 1$

• Étape 1 : initialisation $u_0^2 = 1 \geq 2 \times 0 + 1$.
• Étape 2 : hérédité : Si $u_n^2 \geq 2n + 1$, alors $u_{n+1}^2 \geq u_n^2 + 2 \geq 2n + 3 = 2(n + 1) + 1$.
• Conclusion $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;\; u_n^2 \geq 2n + 1}$$

4. $(u_n)$ n'est pas majorée

• Étape 1 : minorer $u_n$ $u_n > 0$, donc $u_n \geq \sqrt{2n + 1}$.
• Étape 2 : dépasser tout réel $M$ : Si $M < 1$, $u_0 = 1 > M$. Si $M \geq 1$, on choisit un entier $n > \dfrac{M^2}{2}$ : alors $2n + 1 > M^2$, donc $u_n \geq \sqrt{2n + 1} > M$.
• Conclusion $$\boxed{\forall M \in \mathbb{R},\;\; \exists n \in \mathbb{N},\;\; u_n > M \;:\; (u_n) \text{ n'est pas majorée}}$$