Colinéarité et coplanarité

Déterminant de deux vecteurs du plan

Soient $\vec{u}(a\,;b)$ et $\vec{v}(a'\,;b')$ deux vecteurs. Le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le réel :

Colinéarité de deux vecteurs (par déterminant)

Dans l'espace, soient $\vec{u}(a\,;b\,;c)$ et $\vec{v}(a'\,;b'\,;c')$. Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si tous les déterminants extraits de leurs coordonnées sont nuls :

Caractérisation équivalente

De manière équivalente, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles :

Montrer que deux vecteurs sont colinéaires

Étude de la colinéarité

Les vecteurs $\vec{u}(2\,;-4\,;6)$ et $\vec{v}(-1\,;2\,;-3)$ sont-ils colinéaires ?

Alignement de trois points

Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

Déterminant de trois vecteurs

Soient $\vec{u}(a\,;b\,;c)$, $\vec{v}(a'\,;b'\,;c')$ et $\vec{w}(a''\,;b''\,;c'')$ trois vecteurs de l'espace. Le déterminant de $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ est le réel :

Coplanarité de trois vecteurs (par déterminant)

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ de l'espace sont coplanaires si et seulement si leur déterminant est nul :

Coplanarité de quatre points

Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires si et seulement si :

Montrer que trois vecteurs sont coplanaires

Étude de la coplanarité

Les vecteurs $\vec{u}(1\,;2\,;-1)$, $\vec{v}(2\,;-1\,;3)$ et $\vec{w}(4\,;3\,;1)$ sont-ils coplanaires ?

Coplanarité de quatre points

Les points $A(1\,;0\,;2)$, $B(2\,;1\,;3)$, $C(0\,;2\,;1)$ et $D(3\,;4\,;5)$ sont-ils coplanaires ?

Base de mathcalV₃

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ forment une base de $\mathcal{V}_3$ si et seulement s'ils ne sont pas coplanaires, c'est-à-dire :